[科普中国]-代数无关性

历史

Gel’fond-Schneider定理给出了 的超越性，其中α≠0，1是代数数，β是次数为d>1的代数数．1948年A．0．Gel’fond提出了 ， ，…， 的代数无关性问题．他证明了：若β是三次代数数，则 ， 是代数无关的．他还宣布：一般地，当d≥2时， ， ，…， 中至少有[(d+1)/2]个数是代数无关的，但没有给出证明．直到1987年，人们改进和推广了Gel’fond—Schneider方法才证明了这个结论．1971年，R．Tijdemann应用Gel’fond．Schneider方法证明了数e，π，eˆπ， 中至少有两个是代数无关的．1996年，Yu．V．Nesterenko证明了π，eˆπ，Γ（1/4）是代数无关的．他在证明中应用了来自交换代数和代数几何的技术，提出一种新的代数无关性证明方法，并将其用于其他代数无关性问题．这是当代超越数论的最重要的进展．人们推测他的方法(或其改进形式)有可能给出更多的代数无关性结果．例如，人们猜测：两组数π，Γ（1/3），Γ1/4）及e,π,eˆπ,Γ(1/4）分别是代数无关的；数π，Γ（1/5），Γ（2/5）、eˆ√5π中有三个数是代数无关的；等等.值得注意的是，e和兀是否代数无关仍未解决．有一个相当弱的结果：若eˆ(π²)是代数数，则e和π代数无关．

20世纪30年代，K．Mahler及J．F．Koksma相互独立地将全体复数作了一种分类：所有代数数形成一类(称为A类)，所有超越数划分为互不相交的三类：S类、T类和U类，它们的元素分别称为S数、T数和U数．任何代数相关的两个数属于同一类；任何不同类的两个超越数必是代数无关的．所有Liouville数都属于U类；e，π，log 2， 及0．123 456 789 101 112 13…等都不属于U类(因而这些数中每一个都与任何Liouville数是代数无关的)．但还不知道eˆπ是否为Liouville数．因为 是Liouville数，所以与e是代数无关的，从而e+是超越数．

超越数论中不少问题都与指数函数或其反函数即对数函数有关．例如，C．L．Siegel，S．Lang及K．Ramachandra证明了下面的定理(通常称为六指数定理)：如果两组复数x1，x2及y1，y2，y3分别在Q上线性无关，那么六个数 (i=1，2；j=1，2，3)中至少有一个超越数．若在这个定理中，取x1=1，x2=π；y1=log 2，y2 πlog 2，y3= π²log 2，则 (i = 1，2；j=1，2，3)是2，2ˆπ，2ˆπ²,2ˆπ，2ˆπ²，2ˆπ³，因而我们得知：数2ˆπ，2ˆπ²，2ˆπ³中至少有一个超越数．一般地，C．L．Siegel，Th．Schneider，S．Lang及K．Ramachandra提出：

四指数猜想

如果两组复数x1，x2及y1，y2分别在Q上是线性无关的，那么四个数 (i = 1，2；j=1，2)中至少有一个超越数．

另一个与指数函数有关的重要猜想是： Schanuel猜想 设复数x1，…， 在Q上线性无关，那么2s个数x1，…，， ，…， 中至少有s个是代数无关的．这个猜想是由S．Schanuel提出的，并由S．Lang于1966年首先公布．

若在其中取X1=1，X2=2πi，即得猜想：e，π是代数无关的．若取s=d≥2， =(log α)βˆ(j-1)(j=1，…，d)，其中α≠0，1，而β是d次代数数，log α表示α的自然对数的某个分支，可得猜想：logα，αˆβ，αˆβ²,…，αˆ(βˆ(d-1))是代数无关的．我们已由六指数定理推出数2ˆπ，2ˆπ²，2ˆπ³中至少有一个超越数，但尚不知道2ˆπ，2ˆπ²中是否有一个超越数；但若Schanuel猜想成立，则可推出π，log 2，2ˆπ，2ˆπ²,2ˆπ³代数无关．实际上，可以证明四指数猜想是Schanuel猜想的一个推论．Schanuel猜想的另外一个有趣的推论是：若它成立，则下列17个数代数无关：

由Hermite—Lindemann定理可知，Schanuel猜想迄今只对s=1成立．一般情形的解决极为困难．另外，人们还提出Schanuel猜想的推广形式．

当然还有许多其他超越数论猜想，如正文中提到的ζ(2k+1)(k≥1)、Catalan常数及γ常数的无理性或超越性等2．

数的代数无关性

对于s个复数θ₁，…，θs，若存在一个含s个变量的整系数非零多项式P(Z1，…，Zs)，使得P(θ1，…，θs)=0，则称θ1，…，θs，(在有理数域Q上)代数相关，不然称θ1，…，θs(在有理数域Q上)代数无关．因此，若θ1，…，θz代数无关，则对任何s个变量的整系数非零多项式P(z1，…，zs)，总有P(θ1，…，θs)≠0，并且θi(1≤j≤s)中的任意个也代数无关；特别地，这s个数全是超越数．例如，π和π²是代数相关的，因为它们满足 一z₂=0．可以证明：对于任何整数s≥1，实数

是代数无关的．

代数无关性概念的定量形式为：

设θ1，…，θs是s个复数．如果存在一个正整变量x,y的正值函数ψ(x，y)，具有下列性质：对于任意给定的正整数d，H，以及任何次数≤d，高(即系数绝对值的最大值)≤H的整系数非零多项式P(z1，…，zs)，有

那么称ψ(d，H)是θ1，…，θs的一个代数无关性度量．特别地，当S=1时，称其为θ1的超越性度量．当然，这个定义蕴涵了θ1，…，θs的代数无关性(或θ1的超越性)．例如，对于log 2，可取

其中C2>0是一个常数，也就是说，对于任何次数≤d、高≤H的整系数非零多项式P(z)，有

超越数论的基本任务就是确定一个数的超越性或几个数的代数无关性(定性和定量两个方面)2．

对数代数无关性

沙努尔猜想3是超越数论中最基本最前沿的问题，它被认为是包含了已知的与指数(对数)函数值的超越性有关的所有结果以及所有合理的猜想．这个猜想的解决将会导致整个超越数论发生翻天覆地的改变，大部分超越数论的谜题也会随之迎刃而解．

在提出沙努尔猜想之前首先有的是对数代数无关性猜想和根据六指数定理提出的四指数猜想．

对数代数无关性猜想：

若x1，…，xn为非零的代数数使得lgx1，…，lgxn在Q上线性无关，则lgx1，...，lgxn代数无关．对数代数无关性猜想的证明是许多数学家毕生的追求，但可惜的是我们只证明了n=1的情况，当n≥2时，我们毫无头绪，我们连是否存在代数数x1，x2使得lgx1，lgx2代数无关都不知道．

根据两个猜想，沙努尔提出了更一般的猜想．

沙努尔猜想:

若x1，…，xn为Q上线性无关的复数，则x1，...，Xn，eˆx₁，…,eˆ(xn)这2n个数中至少有n个代数无关．我们可以分析一下这个猜想．当x1，...xn均为代数数时，这个猜想就是我们上面讲述的林德曼一魏尔斯特拉斯定理．当eˆx₁，…,eˆ(xn)如均为代数数时，这个猜想就变成了上面的对数代数无关性猜想了．因此，我们才会说沙努尔猜想是超越数论中所有合理猜想的“综合”．数学家们经过努力，但只能在加上一些附加条件时才能得到证明，对于这个猜想本身，由于缺少有效的工具和方法，还看不到解决该猜想的希望3．

指数的代数无关性

定理一 设复数α0,α1，α2及γ0,γ1,γ2分别Q线性无关，则数

中至少有两个代数无关4．

定理2 设复数α0,α1，α2及η0，η1,分别Q线性无关，则数

中至少有两个代数无关4．