[科普中国]-完全有界集

完全有界集是指距离空间中的一类子集。度量空间中的列紧集一定是完全有界的，而在完备度量空间中，完全有界性与列紧性等价。

定义完全有界集是指距离空间中的一类子集。1

完备度量空间X的某个子集M是相对紧的，当且仅当M在这种意义下是完全有界的：对于每个ε>0，M中都存在有限个点m1,m2,……，mn，使得M的每个点m到m1,m2,……，mn的距离至少有一个小于ε。换句话说，M是完全有界的，如果对于每个ε>0，M都可以被有限个其球心属于M而半径小于ε的开球所覆盖。

性质1、R中任一有界点集都是完全有界的；

2、距离空间中，完全有界集一定为有界集；

3、距离空间(X,ρ)中的任一列紧集一定是完全有界集。反之，若(X,ρ)是完备的距离空间，则X中任一完全有界集一定是列紧集。

距离空间度量空间(Metric Space)，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。

亦称距离空间。一类特殊的拓扑空间。弗雷歇(Fréchet，M.-R.)将欧几里得空间的距离概念抽象化，于1906年定义了度量空间。

在度量空间中，紧性、可数紧性、序列紧性、子集紧性是一致的。可分性、遗传可分性、第二可数性、林德勒夫性是一致的。度量空间必满足第一可数公理，是豪斯多夫空间，完全正规空间，仿紧空间。伪度量空间满足第一可数公理，但一般不是豪斯多夫空间。

本词条内容贡献者为:

李嘉骞 - 博士 - 同济大学