[科普中国]-角微商

设D是复平面上由光滑简单闭曲线所围成的区域，P是D的边界上的一个点，考虑以P 为顶点其两边的接近顶点的部分都包含在D内的角域，则通过这样的角域到达点P的曲线，称为以P为终点的斯托尔茨路径(得名于奥地利数学家斯托尔茨(Otto Stolz，1842-1905)。设复值函数w= f(z)在区域|z|0(Re表示复数的实部) 等情形，可以同样地定义角微商1。

基本介绍

设在内全纯，如果沿以单位圆周上的点为终点的Stolz道路时，一致地有，且极限存在，则称D为在处的角微商(angular derivative)。

在域是半平面的情形，对虚轴上的点也可同样地定义角微商。但是，当时，在上式中要用代替，而当时，要用代替，在后面这种情形，Stolz道路理解为包含于角域内的趋于的道路。角微商的研究由G.Julia(1920)，J.Wolff(1926)开始，而由Carathéodory(1929)，E.Landau-G，Valiron(1929)推进2。

相关结论

关于角微商的基本定理可叙述如下：若在内全纯的函数满足，则存在常数，使当z沿Stolz道路趋于时，一致地有和；且对任意的正整数p，对于的p阶导数，还一致地成立。此外，在内，处处成立。单位圆的情形也有类似的定理。

对于保角映射理论，研究把平面上的单位圆(或半平面)D映射到平面的单连通域B上的函数，在D的边界上的一点处具有非零的有限角微商的条件，也即在边界上兼有保角性和线素比不变性的条件，是重要的。Carathéodory指出，使这一点成立的一个充分条件是：存在分别在B的外部和内部的两个圆周，它们在B的边界点处互相外切或内切。接着，L.Ahlfors利用关于带形域的畸变定理，导出了角微商存在的充分必要条件，Wolff在保角映射的迭代的研究中应用了角微商2。

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学