扎里斯基环是一种特殊的诺特拓扑环。设 (R,m) 是一个诺特局部环,则带有 m 进拓扑的环 R 是典型的扎里斯基环的例子。
定义设 R 是一个诺特环,如果存在 R 的某个理想 I 使得 R 关于 I 进拓扑,其每个理想都是闭集,则称 R 是扎里斯基环。
设 (R,m) 是一个诺特局部环,则带有 m 进拓扑的环 R 是典型的扎里斯基环的例子。1
诺特环在数学中,更具体地在抽象代数领域被称为环形理论。诺特环(Noetherian ring)是抽象代数中一类满足升链条件的环。希尔伯特(Hilbert)首先在研究不变量理论时证明了多项式环的每个理想都是有限生成的,随后德国数学家埃米·诺特(Emmy Noether)从中提炼出升链条件,诺特环由此命名。
等价的定义为:A的每个理想都是有限生成的,或者是理想是有限生成的。
将上述定义中的理想代换为左理想或右理想,可以类似地定义左诺特环与右诺特环。A是左(右)诺特环当且仅当A在自己的左乘法下形成一个左(右)诺特模。对于交换环则无须分别左右。
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尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学