[科普中国]-非标准算术模型

非标准算术模型(nonstandard model of peano arithmetic)是皮亚诺算术理论的一种模型，指与自然数模型N初等等价，但不同构的模型。自然数集合的皮亚诺公理(Peano Axiom)不仅有通常的自然集N为其标准模型（即包括可数多个元素），还有包括不可数多个元素的模型，这就是所谓的非标准算术模型。第一个非标准算术模型是由斯柯伦在1934年首先构造出来的。

基本介绍标准模型(standard model)是指满足一定条件的模型，在以自然数、有理数、实数、复数等标准的数学结构的研究中，当我们试图通过公理化，把它们置入一阶谓词演算中以构成一阶系统时，就能发现该系统的模型之间结构可以相同也可以不相同。通常把与原来的结构同构的模型称为标准模型，反之称为非标准模型。其定义为：令S为一数学结构，T (S)为通过公理化建立的一阶系统，令S*是T (S)的一个模型，如果S*和S同构，就称S*为T (S)的一个标准模型；如果S*和S不同构，就称S*为T (S)的一个非标准模型。对自然数的算术N来说，通过公理化可以建立一阶形式算术系统N ，如果N 的模型N*与N同构，那么N*就是N 的标准模型，亦称标准算术；反之如果N*与N不同构，那么N*就是N 的非标准模型，亦称非标准算术。对实数R也可作类似处理，先建立一阶实数的形式系统R，此时R的模型R*如果与R同构，那么就是标准实数，反之就是非标准实数1。

Peano算术公理令 ，其中“+”、“·”是二元函数符号，s是一元函数符号，称作后继函数，0为常量符号。Peano算术公理包括：

(1)

(2)

(3) ；

(4) ；

(5) ；

(6) ；

(7)推理公理 ：

其中 是任意 -公式。

注意，公理 揭示了Peano算术的归纳推理规则：若有 ，设

如果X同时满足下列两个条件：

(1) ；

(2) 若 ，就有 ，

则必有 。此即Peano算术的数学归纳法。

称模型 为标准算术模型，其中“+”、“.”分别是自然数的加法与乘法，s是后继函数， ，0是通常的自然数零。显然 满足Peano算术公理。其他满足Peano公理但不与 同构的模型统称非标准算术模型2。

背景介绍在数学中，非欧几何中就是靠引进模型才论证了非欧几何公理系统是不矛盾的。但一直到1950年左右，模型论才正式成为一门新学科。主要标志就是1949年亨金发表的完全性定理的新证明、在1950年国际数学家大会上塔尔斯基与罗宾逊的报告，以及1951年罗宾逊《代数的元数学》的发表。

自此之后，模型论大致可分为两条路线，一条是美国西海岸的斯科兰姆-塔尔斯基路线，他们从20世纪40年代起就由数论、分析、集合论的问题所推动，强调研究一阶逻辑所有公式的集合模型。另一条是美国东海岸的罗宾逊路线，他们的问题由抽象代数的问题所推动，它强调无量词公式集与存在公式集。关于两块量词的理论很多，它们有许多应用。罗宾逊的主要用于域论，前苏联马尔切夫等人的主要用于群论。

属于纯粹模型论主题的最早的定理有两个，一个是勒文海姆的定理。他在1915年证明每一组有限多公理如果有模型的话，则它也有一个可数模型。这个定理可推广到有可数个公理的情况。另一个定理是紧致性定理。20世纪30年代，哥德尔对可数语言证明紧致性定理，1936年苏联马尔切夫推广到不可数语言。紧致性定理在代数学方面有许多应用。这两个定理都肯定某种模型的存在性，特别是勒文海姆-斯柯伦定理及紧致性定理指出有想不到的特别大的模型存在。最明显的就是自然数集合的皮亚诺公理(Peano Axiom)（其中归纳公理加以改变），不仅有通常的自然集N为其标准模型（即包括可数多个元素），还有包括不可数多个元素的模型，这就是所谓的非标准算术模型。第一个非标准算术模型是由斯柯伦在1934年首先构造出来的。这两个定理的证明都依赖于造模型的方法。

对于数学理论最重要的事是公理化。在模型论中，公理数目可以有限多，称为有限可公理化的理论。这类理论有；群、交换群、环、整域、域、有序域、全序集、格、布尔( Boole)代数、贝纳斯-哥德尔集合论，等等。许多重要理论是不能有限公理化的，其中一部分是递归可公理化的。如可分群、无挠群、特征0的域、代数封闭域、实封闭域、有限域、尤其重要的是皮亚诺算术和ZF集合论，而有限群论甚至连递归可公理化都不行。

一个理论是递归可公理化的充分必要条件是：它的所有推论集合是递归可枚举的。通常它不一定是递归的，如果是递归的，则称为可判定的。可以证明，每个完全、递归可公理化理论是可判定的。因此利用模型论的有力工具可以得出判定理论的一些结果，如早在1948年塔尔斯基等人证明，实闭域理论是完全的，因此是可判定的。

早在19世纪，数学家利用造模型的方法来肯定非欧几何的真实性，他们造过许多模型，但这些模型本质上没有区别，也就是“同构”。在20世纪初，数学家一般认为，一个理论的模型都是同构的，如自然数理论就是皮亚诺公理所刻画的一种。

但是这种想法很快就由于自然数非标准模型的存在而被打破，所以人们又在模型论当中引进重要的概念——范畴性：一个理论或一组公式如果其所有模型均同构，它就称为范畴的。实际上，这对于形式系统（或公理系统）是仅次于协调性（无矛盾性）、完全性、独立性之后的第四个重要要求。但是这个要求实在太强了，实际上，只要一个理论有一个无穷模型，那么它就不是范畴的，所以我们把范畴性的要求降低。

模型论给数学带来许多新结果，我们大致可以分成3大部分：在代数方面的应用主要是群论和域论；在分析方面的应用主要是非标准分析；在拓扑学、代数几何学方面的应用主要是拓扑斯理论。

模型论在代数学中最早的应用是量词的消去，早在20世纪30年代，就由此得到了整数加法群的判定步骤，塔尔斯基得到实数的可定义集和实数域的判定步骤。

1960年以后，数理逻辑的发展逐步影响到数学本身，因而重新引起数学家们的注意，特别是集合论与模型论的结果不断冲击数学本身。模型论在解决代数问题方面显示巨大威力，特别是艾柯斯(Eco)及柯辰(Kozen)解决了著名的阿廷猜想（Artin Conjecture），这个问题曾使代数学家为难了几十年。

非标准分析是罗宾逊在1960年创造的。1961年1月，在美国数学大会上，罗宾逊宣布了他的非标准分析，其实这就是逻辑学家所谓的实数的非标准模型。在这篇报告中，他总结了新方法的所有重要方面，因此无可争辩地成为这个新领域的独一无二的创造者。他指出，实数系统是全序域，具有阿基米德性质，也就是任何一个正实数经过有限次自己加自己之后可以超过任何一个实数。但是非标准实数一般并不满足这个条件，比如说一个无穷小量的一千倍，一万倍、一亿倍甚至更多，也大不过1，这个性质称为非阿基米德性质。

最近，非标准分析在分析、微分几何学、代数几何学、拓扑学有一系列的应用，使数学家对非标准分析也不得不另眼相看了，特别是非标准拓扑和非标推测度论近来更是有重要的突破。

非标难测度论已经得出许多新的“标准”结果，如关于测度的扩张、位势理论、布朗( Brown)运动理论、随机微分方程、最优控制理论，甚至运用到数理经济学及高分子物理化学当中。其中关键来自1975年洛布(Lob)的工作。他从非标准测度空间能造出丰富的标准测度空间，使得非标准分析真正能对标准数学作出自己的贡献。

拓扑斯是现代数学的最新基础，它反映了数理逻辑与范畴论的结合。范畴论大约在20世纪60年代初由同调代数学脱颖而出，而同调代数则在20世纪40年代末到60年代初由代数拓扑学发展而来。代数拓扑学则是用群、环、域、模等代数结构来刻画几何图形的拓扑结构。同调代数学则用代数结构来刻画代数结构，比如说一组群与另一组群的对应关系。把这个组发展到集合或其他任何结构，研究范畴与范畴之间的关系就是范畴论。

我们可以考虑几何的范畴和范畴的范畴。1963年出现了层的范畴，这就是拓扑斯。拓扑斯使范畴方法迅速推广到其他数学分支中去。1970年，劳威尔(Lawvere)等人引进一种特殊的范畴——初等拓扑斯，几年之后，并证明了一个重要结果：一个初等拓扑斯正好是高阶直觉主义集合论的模型。因此．初等拓扑斯就像集合一样成为数学的基础，而且更接近数学的内容3。

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学