[科普中国]-右连左极过程

定义

令 为度量空间，并令 。函数 称为右连左极函数。若对于每一 ，都有左极限存在；且右极限存在并等于 ，即 是右连续的且有左极限。1

例子

全部连续函数都是右连左极函数。

由累积分布函数的定义知所有的累积分布函数都是右连左极函数。

累积分布函数

累积分布函数，又叫分布函数，是概率密度函数的积分，能完整描述一个实随机变量X的概率分布。一般以大写“CDF”（CumulativeDistributionFunction）标记。

对于所有实数x ，累积分布函数定义如下：

斯科罗霍德空间

从 到 的所有右连左极函数的集合常记为 或简记为 ，称为斯科罗霍德空间，是以乌克兰数学家阿纳托利·斯科罗霍德（Anatoliy Skorokhod）的名字命名。斯科罗霍德空间可以被指派一个拓扑，这一拓扑直觉上能使我们“稍微蠕动空间和时间”（而传统的一致收敛拓扑仅允许我们“稍微蠕动空间”）。为了简化说明，取 ， （Billingsley的书中描述了更一般的拓扑）

首先我们必须定义连续性模的一个模拟 。对于任意 ，使

且对于 ，将右连左极函数模（càdlàg modulus）定义为

其中最大下界对所有划分 ， 都存在，且 。这一定义对于非右连左极函数 是有意义的（就如通常的连续性模对于不连续函数是有意义的）且可以说明 是右连左极函数当且仅当时。

这是令表示从到自身的所有严格递减的连续双射函数的集合（这些函数是“对时间的蠕动”）。令

表示上的函数的一致范数。将上的斯科罗霍德度量（Skorokhod metric）定义为

其中是恒等函数。以“蠕动”这种直观感觉来看，度量了“时间的蠕动”，而度量了“空间的蠕动”。

可以证明斯科罗霍德度量度量的确是度量。由生成的拓扑称为上的斯科罗霍德拓扑（Skorokhod topology）。1

斯科罗霍德空间的性质一致拓扑的一般化

E上的连续函数空间C是D的一个子空间。相对应于C斯科罗霍德拓扑与这里所述的一致拓扑相一致。

完备性

虽然D不是关于斯科罗霍德度量σ的一个完备空间，但是可以证明存在具完备性的关于D的拓扑等价度量σ0。

分离性

关于σ或σ0的D是可分空间，因此斯科罗霍德空间是Polish空间。

斯科罗霍德空间中的胎紧性

通过应用阿尔泽拉－阿斯科利定理，我们可以证明斯科罗霍德空间D上概率测度的一个序列是胎紧的当且仅当同时满足下列两个条件：

和

代数结构与拓扑结构

在斯科罗霍德拓扑和函数的逐点加法下，D不是一个拓扑群。2