[科普中国]-贝茨定律

定律定义

贝茨定律适用于所有牛顿流体，但主要应用于风。考虑到如果所有的能量来自风的运动，通过涡轮机被提取为有用的能量之后风速将降为零。如果风在涡轮机的出口处停止转动，那么就不会有新的风吹进来——它会被阻塞。为了使风在涡轮机中流动，必须有一些风的运动，无论多么小，在另一边，风速大于零。贝茨的定律表明，当气流穿过某一区域时，当它从失去的能量中减慢到从涡轮机中提取能量时，它必须扩散到更广阔的区域。因此，几何限制了涡轮效率为59.3%。1

发展简史英国科学家弗雷德里克·w·兰彻斯特在1915年得出了与贝茨定律同样的最大值。俄罗斯空气动力学学校的负责人尼古拉·朱科斯基也在1920年出版了同样的结果，那是与贝茨相同的一年。2

推导过程贝茨假设风力发电机是一种将风能转换为电能的装置,风力发电机的风轮主要将通过风轮的风能转换为动能,由于动能的转移,通过风轮以后的风速会下降,假设将通过风轮的空气从空气中分离出来当作孤立的事物来看待,那么就可以形成一个横截面为圆形的长的气流管。假定风轮是理想的,具有无数的叶片,气流通过风轮时没有阻力,如果没有空气横穿边界面,那么气流管中的空气质量和流量都相等。但由于气流管中的空气经叶轮后速度下降,且空气的质量不变,空气的密度将减小,体积会变大,因此流管的横截面积将会发生膨胀。贝茨定律的极限是理论上最大的风能利用系数,风力发电机的风能利用系数都没有超过这个极限。

贝茨定律的建立依据的假设条件是假定风轮是理想的，能全部接受风能并且没有轮毂，叶片是无限多，对气流没有任何阻力。而空气流是连续的，不可压缩的，叶片扫掠面上的气流是均匀的，气流速度的方向不论在叶片前或流经叶片后都是垂直叶片扫掠面的(或称为是平行风轮轴线的)，满足以上条件的风轮称为“理想风轮”。3

推导方程v1 - 进入风速

v2 - 残余风速

ρ - 空气密度

s - 叶片扫风面积

P - 转换的动能

P0 - 风的初始动能

则叶片处单位时间内通过的风的质量 M = ρ*s*(v1+v2 )/2式1

根据牛顿第二定律，叶片吸收的动能等于风残余动能与风初始动能之差，于是得到：

P = (1/2)*M*(v1^2 - v2^2) 式2

将式1带入式2得到：

P = (ρ/4)*(v1^2 - v2^2)*(v1+v2)*s

由风能的基本计算公式可知

P0 = (ρ/2)* v1^3*s

则有：

P/P0 = (1/2)*(1-(v2/v1)^2)*(1+(v2/v1))

由此可见 P/P0 为 v2/v1 的三次函数，求导得两个驻点，分别为1/3和-1，由于v2/v1为正，故：

当 v2/v1 = 1/3 时

P/P0 为最大值 16/27