[科普中国]-曲线积分与路径无关性

定律定义二维的情形

（1）平面上的单连通区域与复连通区域

设 是平面 上的区域。如果 内的任何封闭曲线 所围成的区域 ，恒有 ，则 称为单连通区域；否则， 称为复连通区域。

（2）平面曲线积分与路径无关的条件

定理11 设 是平面 上的单连通闭区域，函数 与 在 内具有一阶连续偏导数，则下列 两两等价

沿 内任何光滑闭曲线 ，恒有

对 内的曲线积分 ，只与这光滑曲线 的起点 、终点 有关，而与路径无关，即恒有

在 内是某一个函数 的全微分，即在 恒有

在 内每一点处恒有

三维的情形（1）曲面单连通区域与曲面复连通区域

设 是 空间的区域。如果 内的任何简单封闭曲线 ，都存在以 为边界的曲面 ，使得 ，则 称为曲面单连通区域；否则， 称为曲面曲面复连通区域。

（2）空间曲线积分与路径无关的条件

定理21 设 是平面 空间的曲面单连通闭区域，函数 、 、 在 内都具有一阶连续偏导数，则下列 两两等价

沿 内任何光滑闭曲线 ，恒有

对 内任何一个光滑曲线段 ，曲线积分

仅与 的起点 、终点 有关，而与路径无关。

在 内是某一个函数 的全微分，即在内恒有

在 内每一点处恒有

应用领域上述两类定理条件中要求 和 为单连通区域是很重要的。如下面的例子：

例 12 计算 ，其中 为任一不包含原点的闭区域 的边界曲线，分段光滑.

解 因为

在区域 上连续且相等，于是

所以根据格林公式即可得

倘若 为绕原点一周的封闭曲线，则函数 ， 只在剔除原点外的任何区域 上有定义，所以 必含在某个复连通区域内。这时它不满足定理1的条件，因而就不能保证 成立。事实上，设 为绕原点一周的圆

则有

若 ， 满足定理1的条件，则由上述证明可看到二元函数

具有性质

它与一元函数的原函数相仿。所以我们也称 为 的一个原函数。