[科普中国]-时间反演算符

概念

1932年，Wigner在量子力学中引进了时间反演，乍一看来，这是与空间反演相似的一个分立对称性，实际上不然。这是用词不当。严格地说，所谓的时间反演对称乃是指运动的可逆性，即把一个过程用摄像机拍下来，然后把胶卷倒过来放映，假如看上去运动规律（当然不是指“现象”）与顺放时一样，就叫做“时间反演守恒”。1

基本原理对一个无自旋粒子在位形空间写出薛定谔方程：

按上述定义，让我们先作变换 ，看变换后对 的薛定谔方程是否能保持与原来有同样形式？显然不能！这时因为方程对 的微商是一阶而非二阶的缘故。于是在第二步，对整个方程取一次复共轭运算，才能得到预期的“时间反演不变的”薛定谔方程。

其中已假设 不含时间，于是原来的 与 这两个解之间有某种对称性或等价性的关系。这是可能的，试看一个定态波函数，我们有：

于是有两种可能性：

（1） 是实函数， 的两个态是同一个态。即当 在时间反演下不变且本征态（在能量上）非简并时，其相应之本征波函数必可写成（实函数）的形式。

（2），的两个态不同，但有同样的能量，所以是简并态。例如在中心势场中的能量本征态，，而对应于，当时，它们是简并的，且互为“时间反演态”。另一粒子是平面波，此时，它与在能量上简并。2