[科普中国]-样条拟合

在实际问题中，经常要根据观测得到的一些数据，也就是平面上的一些离散点，绘制出一条近似曲线，这些离散点称为控制点。如果要求曲线通过所有控制点，则问题称插值问题，如果要求曲线不一定通过所有控制点，而是以某种方式逼近这些点，则问题称为拟合问题。构造拟合曲线，除了最小二乘法以外，实际中还经常用分段拟合的方法，就是在每一段内，用低次多项式作为该段的拟合曲线，而且这些分段多项式曲线在分界点还具有一定的光滑性，这就是所谓的样条拟合。样条一词来源于工程实际，是指技术工人放样时使用的一种工具——具有良好弹性的细长木条，借助样条就可根据给定的控制点绘出光滑的曲线。1

应用圆弧拟合的光滑性比线性拟合有了提高，但它在型值点的曲率还是有间断的，也就是说，整条曲线的二阶导数是不连续的，在实际问题中，我们往往需要一种具有连续的一阶导数和连续的二阶导数的拟合曲线，对予这种问题普通采用的是样条拟合方法，三次样条曲线(以下简称样条曲线)是工人师傅在放样时用弹性样条(最常用的是细长木条，它的横向截口一般是矩形，造船厂里就称这种木条为样条，它的作用相当于“万能曲线板”)来画曲线的数学抽象,根据材料力学对小挠度梁的分析，可以得到所谓样条曲线．它在两个型值点之间都是某种三次代数曲线(以下简称三次曲线)，而且在各型值点上有连续的一阶导数和二阶导数。2

样条拟合举例B－样条B-样条函数的研究最早开始于十九世纪，当时N.Lobachevsky把B-样条作为某些概率分布的卷积。在1946年，I.J.schoenberg利用B-样条进行统计数据的光滑化处理，他的论文开创了样条逼近的现代理论。随后， CdeBoor，M.Cox和LMansfiekl发现了B-样条的递推关系。B-样条曲线的最初定义是基于差商，这种定义方法包含了复杂的数学公式，而且所得结果在数值上不稳定。 DeBoor与Hollig应用B-样条的递推关系作为出发点定义B-样条，这是一种完全不同于差商方法的定义公式。B-样条根据节点的不同又分为均匀B-样条基函数，周期B-样条基函数等类型。

三次样条通常重要的描述粒子间相互作用的函数，如分子动力学的原子嵌入势函数或者第一性原理中的电子交换关联势函数等．都是将给定网格上的数值存储在相应文件中，而非直接调用连续的解析函数。因此，利用这些数值点构建行为良好的、与原函数近似相等的插值函数对最终的结果具有重要的意义。实践表明，三次样条函数可以方便地满足上述要求，因此在实际工作中得到了广泛的应用。三次样条函数要求在各个节点(插值点)处函数值、一阶导数值、二阶导数值连续。这个要求同时具有明显的几何与力学意义。从几何角度而言，最高到二阶导数连续的函数在各节点上光滑且对称地连续，即在节点处左右微小范围内该样条函数是一段圆弧，曲率半径相等。因为细梁(样条函数)的弯矩与曲率成正比，因此在力学意义上，三次样条函数等价于将弹性杆压在各节点处自然弯曲所得到的结果。3

样条拟合函数在数学学科数值分析中，样条是一种特殊的函数，由多项式分段定义。样条的英语单词spline来源于可变形的样条工具，那是一种在造船和工程制图时用来画出光滑形状的工具。在中国大陆，早期曾经被称做“齿函数”。后来因为工程学术语中“放样”一词而得名。

在插值问题中，样条插值通常比多项式插值好用。用低阶的样条插值能产生和高阶的多项式插值类似的效果，并且可以避免被称为龙格现象的数值不稳定的出现。并且低阶的样条插值还具有“保凸”的重要性质。

在计算机科学的计算机辅助设计和计算机图形学中，样条通常是指分段定义的多项式参数曲线。由于样条构造简单，使用方便，拟合准确，并能近似曲线拟合和交互式曲线设计中复杂的形状，样条是这些领域中曲线的常用表示方法。

本词条内容贡献者为:

尹维龙 - 副教授 - 哈尔滨工业大学