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[科普中国]-戴德金原理

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戴德金原理(Dedekind principle)亦称戴德金分割,是保证直线连续性的基础,其内容为:如果把直线的所有点分成两类,使得:1.每个点恰属于一个类,每个类都不空。2.第一类的每个点都在第二类的每个点的前面,或者在第一类里存在着这样的点,使第一类中所有其余的点都在它的前面;或者在第二类里存在着这样的点,它在第二类的所有其余的点的前面。这个点决定直线的戴德金割切,此点称为戴德金点(或界点),戴德金原理是戴德金((J.W.)R.Dedekind)于1872年提出来的,在构造欧氏几何的公理系统时,可以选取它作为连续公理,在希尔伯特公理组Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的基础上,阿基米德公理和康托尔公理合在一起与戴德金原理等价1。

基本介绍定义1 若将实数集R分成两个子集S和T,它们满足:

(1)

(2)

(3),总有x0,且x2>2)则(S,T)构成对有理数集Q的戴德金分划,但左集S无最大数;右集T无最小数,也就是(S,T)没有中介点2。

戴德金原理 实数集R的任一戴德金分划(S,T),都唯一地确定一个实数(称为中介数或中介点),它或者是S的最大数(此时T中无最小数)、或者是T的最小数(此时S中无最大数)。

戴德金原理的证明在S中任取一数,T中任取一数b0,由戴德金分划的“不乱”性质,,闭区间的左端点属于S;右端点属于T,这样的闭区间称为入选区间,把二等分,设中点为c,则中必有一个且只有一个是入选区间,把它记作,再把二等分,而得到第三个入选区间,……这样进分下去,便能得到一个入选区间组成的序列

因为这是逐一二等分得到的序列,所以

可见序列(1)是一个退缩闭区间套,据退缩闭区间套定理,存在唯一实数,使

下面证明便是中介点2。

,如果不是S的最大数,则必存在实数r∈S,使

又由于对每个n,bn∈T,而r∈S,所以

由于,故对充分大的n,必有

对于端点满足(5)式的闭区间,必有

否则,如果,与(3),(4)两式联立起来,将有

将得到,与(5)式矛盾。但(6)式是与(2)式矛盾的。这个矛盾说明假设不是S的最大数是不对的,必为S之最大数。

S中有最大数,T中必无最小数,否则,若T中有最小数,则。由实数之稠密性,存在实数,使,但既不是S中的元素(因>S中的最大数),又非T中的元素(因