[科普中国]-长方台

长方台(cuboid frustum)是一种特殊的拟柱体，两底面都是矩形，并且它们的对应边平行的拟柱体称为长方台。

基本介绍两底面是矩形、且对应边平行的拟柱体叫长方台。长方台在中国古代称刍童、盘池、冥谷，并在《九章算术》中给出了它的体积计算公式，其公式是拟柱体体积公式的特例1。

图6中上底长()，宽()；下底长()，宽()；高(h)为已给，它的体枳公式是

V刍童=

(如图1)这两个矩形的面叫做长方台的底面，如图中的ABCD和A'B'C'D'，其余各叫做长方台的侧面如ABB'A'、BCC'B'等，两底面间的距离叫做和长方台的高，如OO'，长方台的各侧棱延长后不一定相交于同一点2。

拟柱体 所有顶点都在两个平行的平面内的多面体称为“拟柱体”。其中平行的两个多边形面称为拟柱体的底面，其余的面(一般为三角形、平行四边形或梯形)称为拟柱体的侧面，两底面之间的距离称为拟柱体的高，通过高的中点且平行于底面的截面称为拟柱体的中截面。设分别为拟柱体两底面和中截面的面积，h为它的高，则其体积是

棱柱、棱锥、棱台都可看作拟柱体的特殊情况，它们的体积公式可统一在拟柱体的体积公式中。同样，长方台也是拟柱体，体积也可借此公式计算。

【例1】铸造一个长方台ABCD-A₁B₁C₁D₁如图，上，下底面是互相平行的矩形，相对侧面与底面的夹角相等，已知AB =4，BC=2，A₁B₁=3，B₁C₁=1，高h=2(单位：米)，求该长方台的体积。

解法1 (不是棱台——切法) 如图切两次。

解法2 （用拟柱体计算体积的万能公式）

V拟柱体

长方台展开计算长方台有锥体长方台和非锥体长方台之分，锥体长方台锥线汇交于一点，非锥体长方台又称敞口矩形台，锥线不汇交一点， 须分别求出各面放样尺寸作出展开图。下面分别加以介绍。

锥体长方台展开计算图4所示为锥体长方台，已知尺寸为A、B、H及h。计算式:

式中 a——矩形台顶口长边；

b——顶口短边。

矩形敞口台展开计算图5所示为矩形敞口台，已知尺寸为A、B、C、D、H及t。

计算式：

史书记载的长方台体积计算命题 今有刍童，下广二丈，袤三丈；上广三丈，袤四丈；高三丈，问：积几何3?

术曰：倍上袤，下袤从之；亦倍下袤，上袤从之；各以其广乘之；并，以高若深乘之，皆六而一。

答曰：二万六千五百尺。

(《九章算木.商功》第19题)

刍童，中算立体麦用名司，指长方台。

图6中上底长()，宽()；下底长()，宽()；高(h)为已给，它的体枳公式是

V刍童=

证明 为术又可令上下广袤差相乘，以高乘之，三而一，亦四阳马。上下广袤互相乘，并而半之，以高乘之，即四面六堑堵与二立方，并之为刍童积，又可令上下广袤互相乘而半之，上下广袤又各自乘，并，以高乘之，三而一，即得也3。

(刘徽注刍童术)

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杜强 - 高级工程师 - 中国科学院工程热物理研究所