[科普中国]-一元布尔代数

在抽象代数中，一元布尔代数是带有标识（signature）的代数结构。

定义在抽象代数中，一元布尔代数是带有如下标识（signature）的代数结构

有型，这里的 是布尔代数。1

前缀一元算子∃ 指示存在量词，它满足恒等式：

∃0 = 0

∃x≥x

∃(x+y) = ∃x+ ∃y

∃x∃y= ∃(x∃y).

∃x是x的“存在闭包”。对偶于 ∃ 的是一元算子∀，它是全称量词，定义为 ∀x:= (∃x')'。

一元布尔代数有对偶公式，取 ∀ 为原始，把 ∃ 定义为 ∃x:= (∀x')'。所以对偶的代数有标识 ，带有 是布尔代数。此外，∀ 满足上面恒等式的对偶版本：

∀1 = 1

∀x≤x

∀(xy) = ∀x∀y

∀x+ ∀y= ∀(x+ ∀y).

∀x是x的“全称闭包”。

讨论一元布尔代数与拓扑学有重要联系。如果 ∀ 被解释为拓扑学的内部算子，上面的（1）-（3）公理加上公理 ∀(∀x) = ∀x建成了内部代数的公理。但是 ∀(∀x) = ∀x不能从 (1)-(4) 来证明。此外，一元布尔代数的另一个可供选择的公理化组成自（重解释的）内部代数的公理加上 ∀(∀x)' = (∀x)' (Halmos 1962: 22)。所以一元布尔代数是半单纯的内部/闭包代数使得：

全称（对偶的存在）量词解释内部算子（闭包算子）;

所有开放（或闭合）元素也是闭开的。

一元布尔代数的更简洁的公理化是上述 (1) 和 (2) 加上 ∀(x∨∀y) = ∀x∨∀y(Halmos 1962: 21)。这个公理化模糊了与拓扑学的联系。

一元布尔代数形成了一个簇。它们对应一元谓词逻辑，而布尔代数对应于命题逻辑，而多元代数对应于一阶逻辑。Paul Halmos在研究多元代数的时候发现了一元布尔代数；Halmos (1962) 再版了相关的论文。

一元布尔代数还与模态逻辑有重要联系。模态逻辑S5，被看作S4中一个理论，是一元布尔代数的模型，如同模态逻辑S4是内部代数的模型。类似的，一元布尔代数为S5提供了代数语义。所以S5-代数是一元布尔代数的同义词。

参见一元逻辑

模态逻辑

内部代数

闭集

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学