[科普中国]-球坐标

在数学里，球坐标系（Spherical coordinate system）是一种利用球坐标表示一个点p在三维空间的位置的三维正交坐标系。

简介在数学里，球坐标系（Spherical coordinate system）是一种利用球坐标表示一个点p在三维空间的位置的三维正交坐标系。

右图显示了球坐标的几何意义：原点与点P之间的径向距离r，原点到点P的连线与正z-轴之间的天顶角θ，以及原点到点P的连线，在xy-平面的投影线，与正x-轴之间的方位角φ。1

标记在学术界内，关于球坐标系的标记有好几个不同的约定。按照国际标准化组织建立的约定（ISO 31-11），径向距离、天顶角、方位角，分别标记为。这种标记在世界各地有许多使用者。通常，物理界的学者也采用这种标记。而在数学界，天顶角与方位角的标记正好相反：φ被用来代表天顶角，θ被用来代表方位角。数学界的球坐标标记是 。这种标记的优点是较广的相容性；在二维极坐标系与三维圆柱坐标系里，ρ都同样地代表径向距离，θ也都同样地代表方位角。本条目采用的是物理标记约定。1

定义假设P点在三维空间的位置的三个坐标是。那么，0 ≤r是从原点到P点的距离，0 ≤θ≤ π是从原点到P点的连线与正z-轴的夹角，0 ≤φ

这里，θ代表天顶角，φ代表方位角。当r=0时，θ与φ都一起失去意义。当θ=0或 时，φ失去意义。

如想要用球坐标，找出点P在空间的地点，可按照以下步骤：

从原点往正z-轴移动r单位，

用右手定则，大拇指往y-轴指，x-轴与z-轴朝其他手指的指向旋转θ角值，

用右手定则，大拇指往z-轴指，x-轴与y-轴朝其他手指的指向旋转φ角值。1

应用地理坐标系用两个角值，纬度与经度，来表示地球表面的地点。正如二维直角坐标系专精在平面上，二维球坐标系可以很简易的设定圆球表面上的点的位置。在这里，我们认定这圆球是个单位圆球；其半径是1。通常我们可以忽略这圆球的半径。在解析旋转矩阵问题上，这方法是非常有用的。

球坐标系适用于分析一个对称于点的系统。举例而言，一个圆球，其直角坐标方程式为 ，可以简易的用球坐标系{\displaystyle \rho =c}来表示。

当求解三重积分时，如果定义域为圆球，则面积元素是

体积元素是

用来描述与分析拥有球状对称性质的物理问题，最自然的坐标系，莫非是球坐标系。例如，一个具有质量或电荷的圆球形位势场。两种重要的偏微分方程式，拉普拉斯方程与亥姆霍兹方程，在球坐标里，都可以成功的使用分离变数法求得解答。这种方程式在角部分的解答，皆呈球谐函数的形式。

球坐标的概念，延伸至高维空间，则称为超球坐标(n-sphere)。1

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学