[科普中国]-半连续性

在数学分析中，半连续性是实值函数的一种性质，分成上半连续与下半连续，半连续性较连续性弱。

形式定义

设 为拓扑空间， 而为实值函数。若对每个 ε > 0 都存在的开邻域使得1，则称在上半连续。该条件也可以用上极限等价地表述：

若在上的每一点都是上半连续，则称之为上半连续函数。

下半连续性可以准此定义：若对每个 ε > 0 都存在的开邻域使得，则称在下半连续。用下极限等价地表述为：

若在上的每一点都是下半连续，则称之为下半连续函数。

拓扑基赋予实数线较粗的拓扑，上半连续函数可以诠释为此拓扑下的连续函数。若取基为，则得到下半连续函数。2

例子

考虑函数

此函数在上半连续，而非下半连续。

下整数函数处处皆上半连续。同理，上整数函数处处皆下半连续。

性质

一个函数在一点连续的充要条件是它在该点既上半连续也下半连续。

若在某一 点上半连续，则亦然；若两者皆非负，则在该点也是上半连续。若在一点上半连续，则在该点下半连续，反之亦然。

若为紧集（例如闭区间），则其上的上半连续函数必取到极大值，而下半连续函数必取到极小值。

设为下半连续函数序列，而且对所有有

则 是下半连续函数。

开集的指示函数为下半连续函数，闭集的指示函数为上半连续函数。3

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学