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[科普中国]-广义重积分

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广义重积分(generalized multiple integral)是广义黎曼重积分的简称,又称反常重积分或非正常重积分,是一类多元函数积分,指无界多元函数及无界集上多元函数的积分1。n重积分作为多变量的Riemann积分,要求积分域Ω是有界集,被积函数f:Ω→R为有界函数。然而,正如单变量函数的Riemann积分推广到广义积分(无穷积分与瑕积分)一样,考察无界集上的重积分与无界函数的重积分,统称为广义(或反常)重积分2。

基本介绍若积分区域D是个无界集,这时的重积分称为广义积分,譬如

等等都是广义积分,广义积分的定义是先在D的一个有界部分Dr上积分,当r→+∞时要求Dr逐步变大,最后充满整个D,的极限定义为广义积分,即

相关说明广义重积分的两点说明:

(1)Dr的取法中要求D—Dr与原点的距离随r→+∞而趋于+∞;

(2)要求在一切不同Dr的取法下,有同一个极限,否则仍称为发散或不可积。

但当f(x,y)≥o时,只要特别取一组Dr就够了3。

还有另一类型的广义积分,这时积分区域D可能有界,但f(x,y)在D内某点的任何邻域无界(这时点称为奇点),或者在某条曲线上都是奇点(称奇线),这时也称为广义积分,其定义不外乎先去掉奇点(奇线)某个邻域后先积分,再令该邻域收缩到奇点(奇线),若积分存在极限,则称广义积分存在收敛可积

与一元广义积分不同的是广义重积分(重数≥2)可积必绝对可积(注意“绝对可积”这句术语包含两层意思:本身可积且也可积,将“绝对可积”误解为仅仅绝对值积分收敛,这是错误的)。

对一重积分我们已知积分收敛(奇点x=0);收敛(奇点x=±∞)。

对二重积分,则有():

收敛(奇点(0,0));

收敛(奇点r=+∞),

这用极坐标变换可证明,对类似的三重积分,只要将上面的“2”改为“3”,同样,可类推到n重积分3。

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学