[科普中国]-洛伦茨吸引子

洛伦茨吸引子是洛伦茨振子（Lorenz oscillator）的长期行为对应的分形结构，以爱德华·诺顿·洛伦茨的姓氏命名。

简述洛伦茨吸引子及其导出的方程组是由爱德华·诺顿·洛伦茨于1963年发表，最初是发表在《大气科学杂志》（Journal of the Atmospheric Sciences）杂志的论文《Deterministic Nonperiodic Flow》中提出的，是由大气方程中出现的对流卷方程简化得到的。

这一洛伦茨模型不只对非线性数学有重要性，对于气候和天气预报来说也有着重要的含义。行星和恒星大气可能会表现出多种不同的准周期状态，这些准周期状态虽然是完全确定的，但却容易发生突变，看起来似乎是随机变化的，而模型对此现象有明确的表述。

从技术角度看来，洛伦茨振子具有非线性、三维性和确定性。2001年，沃里克·塔克尔（Warwick Tucker）证明出在一组确定的参数下，系统会表现出混沌行为，显示出人们今天所知的奇异吸引子。这样的奇异吸引子是豪斯多夫维数在2与3之间的分形。彼得·格拉斯伯格（Peter Grassberger）已于1983年估算出豪斯多夫维数为2.06 ± 0.01，而关联维数为2.05 ± 0.01。

此系统也会出现在单模激光和发电机的简化模型中。12除此之外，闭环对流、水轮转动等物理模型也有此系统的应用。

洛伦茨吸引子是洛伦茨振子（Lorenz oscillator）的长期行为对应的分形结构，以爱德华·诺顿·洛伦茨的姓氏命名。洛伦茨振子是能产生混沌流的三维动力系统，是一种吸引子，以其双纽线形状而著称。映射展示出动力系统（三维系统的三个变量）的状态是如何以一种复杂且不重复的模式，随时间的推移而演变的。

洛伦茨方程洛伦茨方程是基于纳维－斯托克斯方程、热传导方程和连续性方程简化得出，最初的形式为：3

——流速，T——流体温度，T0——上限温度， ——密度，p——压强， ——重力， ——依次为热膨胀系数、热扩散率和动黏滞系数。

简化后的形式称为洛伦茨方程，是决定洛伦茨振子状态的方程为一组常微分方程：

含时间参数的形式：

称为普兰特尔数，称为瑞利数。所有的，但通常不定。

瑞利数

|| ||

源代码GNU Octave下面是GNU Octave模拟洛伦茨吸引子的源代码：

## Lorenz Attractor equations solved by ODE Solve## x' = sigma*(y-x)## y' = x*(rho - z) - y## z' = x*y - beta*zfunction dx = lorenzatt(X) rho = 28; sigma = 10; beta = 8/3; dx = zeros(3,1); dx(1) = sigma*(X(2) - X(1)); dx(2) = X(1)*(rho - X(3)) - X(2); dx(3) = X(1)*X(2) - beta*X(3); returnend## Using LSODE to solve the ODE system.clear allclose alllsode_options("absolute tolerance",1e-3)lsode_options("relative tolerance",1e-4)t = linspace(0,25,1e3); X0 = [0,1,1.05];[X,T,MSG]=lsode(@lorenzatt,X0,t);TMSGplot3(X(:,1),X(:,2),X(:,3))view(45,45)Borland C#include #include void main(){ double x = 3.051522, y = 1.582542, z = 15.62388, x1, y1, z1; double dt = 0.0001; int a = 5, b = 15, c = 1; int gd=DETECT, gm; initgraph(&gd, &gm, "C:\\BORLANDC\\BGI"); do { x1 = x + a*(-x+y)*dt; y1 = y + (b*x-y-z*x)*dt; z1 = z + (-c*z+x*y)*dt; x = x1; y = y1; z = z1; putpixel((int)(19.3*(y - x*0.292893) + 320), (int)(-11*(z + x*0.292893) + 392), 9); } while (!kbhit()); closegraph();}参见混沌映射列表

Takens定理

曼德布洛特集合

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学