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[科普中国]-有理函数积分法

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有理函数积分法是按一定步骤求有理函数不定积分的方法,求有理函数的积分时,先将有理式分解为多项式与部分分式之和,再对所得到的分解式逐项积分。有理函数的原函数必是有理函数、对数函数与反正切函数的有理组合。

基本介绍有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数,其一般形式为

其中n,m为非负整数,都是常数,且

若m>n,则称它为真分式;若m≤n,则称它为假分式。由多项式的除法可知,假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和。由于多项式的不定积分是容易求得的,因此只需研究真分式的不定积分,故设(1)为一有理真分式。

根据代数知识,有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和(称为部分分式分解),因而问题归结为求那些部分分式的不定积分1。

有理函数积分法的具体介绍设需要求

其中P,Q都是多项式,如果Q的次数大于或等于P的次数,则先用除法分出商多项式R,设多项式P(x)在R上已分解为既约多项式之积:,p1(x),p2(x),…,pk(x)为一次或二次多项式,则有2:

=

+ +…

+

qij(i=1,2,…,k,j=1,2,…,mk)是次数比pi的次数低的多项式。对上式积分,右边出现三类积分:多项式的积分;形如

其中(a,A,k∈R)的积分;和形如

的积分。对第三类积分,改写Bx+C=(2x+p)·(B/2)+(C-pB/2),

将它分解为两个积分

其中,第一个积分已可求出,对第二个积分,如m=1,则易于求出;如m>1,用分部积分法,得

如m-1>1,则可再利用此公式,逐次递推,最后便可求出积分2。

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学