[科普中国]-平均数不等式

平均数不等式，或称平均值不等式、均值不等式，是数学上的一组不等式，也是基本不等式的推广。

定义

平均数不等式，或称平均值不等式、均值不等式，是数学上的一组不等式，也是基本不等式的推广。它是说：

如果 是正数，则

其中：

当且仅当 ，等号成立。即对这些正数：调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数（方均根）简记为：“调几算方”。

证明方法

关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式，在这里简要介绍数学归纳法证明n维形式的均值不等式的方法：1

用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

引理：设A≥0，B≥0，则 ，且仅当B=0时取等号。

引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0，可以用数学归纳法证明。

原题等价于： ， 当且仅当 时取等号。

当n=2时易证；

假设当n=k时命题成立，即 ， 当且仅当 时取等号。

那么当n=k+1时，不妨设 是 中最大者，则 。

设，根据引理

，当且仅当时，即时取等号。

利用琴生不等式法也可以很简单地证明均值不等式，同时还有柯西归纳法等方法。

参见

算术-几何平均值不等式

幂平均不等式

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学