[科普中国]-柯西乘积

在数学上，以法国数学家奥古斯丁·路易·柯西命名的柯西乘积，是指两组数列{\displaystyle a_{n},b_{n}}的离散卷积。

在数学上，以法国数学家奥古斯丁·路易·柯西命名的柯西乘积，是指两组数列{\displaystyle a_{n},b_{n}}的离散卷积。

{\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}.}

该数列乘积被认为是自然数{\displaystyle R[\mathbb {N} ]}的半群环的元素。

级数一个特别重要的例子是考虑两个严格的形式级数（不需要收敛）{\displaystyle a_{n},b_{n}}：

{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n},\qquad \sum _{n=0}^{\infty }b_{n},}

一般地，对于实数和复数，柯西乘积定义为如下的离散卷积形式：

{\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n},}

这里{\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k},\,n=0,1,2,\ldots }

“形式”是指我们对级数运算时不考虑是否收敛，参见形式幂级数。

人们希望，通过对两组级数做实际卷积的有限和的类推，得到无穷级数

{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}}

等于如下乘积：

{\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\right)}

就如同两个数列的和是有限范围一样做乘法。

在充分良态（well-behaved）的情况下，上述式子成立。而更重要的一点，尽管这两个无穷级数可能不收敛，它们的柯西乘积仍可能存在。

示例[编辑]有穷级数[编辑]对于{\displaystyle i>n}、{\displaystyle i>m}，有{\displaystyle x_{i}=0}，{\displaystyle y_{i}=0}即为有穷级数，则{\displaystyle \sum x}和{\displaystyle \sum y}柯西乘积可以展开为{\displaystyle (x_{0}+\cdots +x_{n})(y_{0}+\cdots +y_{m})}，因此可以直接计算乘积。

无穷级数[编辑]对某些{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }，构造{\displaystyle x_{n}=a^{n}/n!\,}和{\displaystyle y_{n}=b^{n}/n!\,}，由定义和二项式展开可知：

{\displaystyle C(x,y)(n)=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a^{i}}{i!}}{\frac {b^{n-i}}{(n-i)!}}={\frac {(a+b)^{n}}{n!}}}

形式上，{\displaystyle \exp(a)=\sum x}，{\displaystyle \exp(b)=\sum y}，我们已表明{\displaystyle \exp(a+b)=\sum C(x,y)}。由于该两个绝对收敛数列的柯西乘积等于两个数列极限的乘积，（见下面的证明），因此我们就可证明这个表达式对于{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }有{\displaystyle \exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)}

另外一个例子，令{\displaystyle x(n)=1}（{\displaystyle n\in \mathbb {N} }），则{\displaystyle C(x,x)(n)=n+1}对所有{\displaystyle n\in \mathbb {N} }成立，则柯西乘积{\displaystyle \sum C(x,x)=(1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,\dots )}，该乘积不收敛。

收敛和梅尔滕斯定理[编辑]令x,y为实数数列，弗兰兹·梅尔滕斯（Franz Mertens）提出，如果级数{\displaystyle \sum y}收敛到Y，且级数{\displaystyle \sum x}绝对收敛到X，则他们的柯西乘积{\displaystyle \sum C(x,y)}收敛到XY。对于两个级数为条件收敛时，结论不成立。例如序列{\displaystyle x_{n}=(-1)^{n}/n}是一个条件收敛序列，而{\displaystyle C(x,x)}不收敛到0.

下面是一个证明：

梅尔滕斯定理的证明[编辑]令{\displaystyle X_{n}=\sum _{i=0}^{n}x_{i}}，{\displaystyle Y_{n}=\sum _{i=0}^{n}y_{i}}，{\displaystyle C_{n}=\sum _{i=0}^{n}C(x,y)(i)}，重排后{\displaystyle C_{n}=\sum _{i=0}^{n}\sum _{k=0}^{i}x_{k}y_{i-k}=\sum _{i=0}^{n}Y_{i}x_{n-i}}。

则{\displaystyle C_{n}=\sum _{i=0}^{n}(Y_{i}-Y)x_{n-i}+YX_{n}}，对任意给定的 ε > 0，因为{\displaystyle \sum x}绝对收敛，{\displaystyle \sum y}收敛，因此存在一个整数N，对于任意n≥N{\displaystyle |Y_{n}-Y|