[科普中国]-外共变导数

在数学中，外共变导数（exterior covariant derivative），时或称为共变外导数（covarian texterior derivative），是流形上的微积分（calculus on manifolds）中一个非常有用的概念，它可能将利用主联络的公式化简。

定义设P→M是光滑流形M上一个主G-丛。如果 是P上一个张量性k-形式，则其外共变导数定义为：

这里h表示到水平子空间的投影，由联络定义，其核为该纤维丛的全空间切丛的 （铅直子空间）。这里 是P上任何向量场。Dφ 是P上一个张量性k+1 形式。

不像通常的外导数的平方是 0，我们有

这里表示曲率形式。特别的 对平坦联络消没。

联络在数学，特别是微分几何中，一个联络形式（connection form）是用活动标架与微分形式的语言处理联络数据的一种方式。

历史上联络形式由埃利·嘉当在二十世纪上半叶引入，作为他活动标架方法的一部分，也是其主要促进因素之一。联络形式一般取决于标架的选取，从而不是一个张量性对象。在嘉当最初的工作之后，涌现出联络形式的各种推广与重新解释。特别地，在一个主丛上，一个主联络是将联络形式自然重新解释为一个张量性对象。另一方面，联络形式作为定义在微分流形上的微分形式与在一个抽象的主丛上相比，有其优越性。从而，尽管它们不满足张量性，联络形式依然被使用，因为利用它们计算相对简单。在物理学中，联络形式在规范理论中通过规范共变微分也广泛应用。

与向量丛的每个基相伴的联络形式是微分1-形式矩阵。联络形式没有张量性因为在基变化下，联络形式的变换涉及到转移函数的外微分，与列维-奇维塔联络的克里斯托费尔符号非常类似。一个联络形式的主要张量性不变量是其曲率形式。如果有将向量丛与切丛等价的一个焊接形式，则有另一个不变量：挠率形式。在许多情形，考虑有附加结构的向量丛上的联络形式：即带有结构群的纤维丛。1

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学