[科普中国]-扭曲几何

数学与物理学中，特别是在微分几何与广义相对论中，扭曲几何（warped geometry）是度规张量。

简介扭曲几何写成如下形式的黎曼流形或洛伦兹流形：

注意到几何可以分解成y几何与x几何的卡氏积（Cartesian product），不过x部分受到扭曲，亦即它的大小尺度受到了一个y坐标的标量函数{\displaystyle f(y)}的调整。基于此理由，扭曲几何的度规常称为“扭曲积度规”（warped product metric）。

扭曲几何很有用处，以其可以运用分离变数法来解与它们有关的偏微分方程。1

例子许多爱因斯坦场方程的基本解是为扭曲几何，比如史瓦西解以及罗伯逊-沃尔克模型。

此外，扭曲几何是弦论中蓝道尔-桑壮模型（Randall-Sundrum models）的基石。

相关内容度量张量在黎曼几何里面，度量张量（英语：Metric tensor）又叫黎曼度量，物理学译为度规张量，是指一用来衡量度量空间中距离，面积及角度的二阶张量。

当选定一个局部坐标系统，度量张量为二阶张量一般表示为，也可以用矩阵表示，记作为G或g。而 记号传统地表示度量张量的协变分量（亦为“矩阵元素”）。2

到 的弧线长度定义如下，其中参数定为t，t由a到b:

两个切矢量的夹角 ,设矢量 和，定义为：

若 为 到 的局部微分同胚，其诱导出的度量张量的矩阵形式 ，由以下方程计算得出：

j表示 的雅可比矩阵，它的转置为 。著名例子有 之间从极坐标 到直角坐标 的坐标变换，在这例子里有：

这映射的雅可比矩阵为

所以

这跟微积分里极坐标的黎曼度量, ，一致。

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学