[科普中国]-有界格

有界格是具有最大元与最小元的格，通常以0，1分别记最小元与最大元.有限个元素a1，a2，…，an所构成的格是有界格，其最小元是a1·a2·…·an，最大元是a1+a2+…+an1。

基本介绍设S是格，如果存在元素a∈S，对于任意的x∈S，都有a≼x，则称a为格S的全下界；如果存在元素b∈S，对于任意的b∈S，都有x≼b，则称b为格S的全上界。

定理 设S是格，若格S存在全下界或全上界，则一定是唯一的。

证明先证明全下界若存在，则必定唯一。

假设格S有全下界a和b，a，b∈S，根据全下界的定义有a≼b和b≼a。再根据偏序关系≼的反对称性，必有a=b。即全下界唯一。

同理可证全上界若存在必唯一。

由于全上界和全下界的唯一性，一般将格S的全下界记为0，全上界记为1。

有界格 设S是格，若S存在全下界和全上界，则称该格为有界格，并将S记为(S，∨，∧，0，1)。

【例1】设S是一个集合，则S的幂集格P(S)是有界格，其中空集∅是全下界，集合S是全上界。

【例2】 (1)设A是有限集合，则的零元是∅，单元是A。

(2)在正整数集合Z、关于整除关系构成的格中，零元是1，无单元。

(3)在整数集合Z关于小于等于关系构成的格中，无零元，无单元2。

定理定理1 任何有限格一定是有界格。

定理2 设S是一个有界格，则对任意的a∈S有2

a∧1=1，a∧1=a，a∨0=a，a∧0=0。

证明

因为a∨1∈S，且1是全上界，所以a∨1≼1，又因为1≼a∨1，因此a∨1=1。

因为a≼a，a≼1，所以口a≼a∧1，又因为a∧1≼a，因此a∧1=a。类似可证其余二式成立2。

本词条内容贡献者为:

孙和军 - 副教授 - 南京理工大学