[科普中国]-辛格定理

辛格定理(theorem of Singer)是关于一类循环差集的存在性定理，该定理由辛格(J.Singer)于1938年利用有限射影几何证得1。

基本介绍若q为素数幂，则存在

循环差集。

该定理由辛格(J.Singer)于1938年利用有限射影几何证得，将有限域GF(q)上的n+1维非零向量x=(x0，x1，…，xn)取作n维射影几何的点，当b为GF(q)中非零元时，把bx与x看做相同的点，这些点的集合记为PG(n，q)，若ξ为扩域GF(qn+1)中的原根，则ξi与ξj表示PG(n，q)中相同点的充分必要条件为i≡j(mod v)，这里

于是，PG(n，q)中的所有点可表为ξ0，ξ1，…，ξv-1.设y1，y2，…，yn是GF(q)上n个线性无关的n+1维向量，把一切向量b1y1+b2y2+…+bnyn(式中bi∈GF(q))所对应的点的集合称为一个超平面，其中的点可表为1 ，这里

辛格证明：{d1，d2，…，dk}是循环群Zv中的(v，k，λ)差集，其中，λ=(qn-1-1)/(q-1)。

辛格定理的证明J.Singer于1938年引入了差集的概念并利用有限域上n维射影几何中的超平面构作了一类重要的循环差集2。

定理1(Singer)设q为素数幂，n≥2，又设

则存在Zv中(v，k，λ)-差集， 使得由此差集的全体平移组成的循环对称设计与以PG(n，q)中的点作元素，以超平面为区组所得到的SB(k，λ；v)同构。

证 设V为Fq上n+1维向量空间，则V的1维子空间便是PG(n，q)中的点，V的n维子空间便是PG(n，q)中的超平面2。

设为Fq的n+1次扩域，α为的一个本原元，可看作Fq上的一个n+1维向量空间，它以1，α，...，αn为一组基，取此空间作为V。

对，中的q-1个元素

都是Fq上方程xq-1=1的根。由此它们就是Fq的全部非零元素，于是Fq中任一非零元t必可表成的形式,由此中两个非零元αi与αj代表V中同一个1维子空间的充分必要条件是存在Fq中的元素t=使

亦即

于是

则便是V中全部1维子空间亦即PG(n,q)中全部v个点,映射

是PG(n,q)的一个自同构,σ生成一个v阶循环群G=．G传递地作用在PG(n,q)中全体点的集合上,且G也传递地作用在全体超平面的集合上，由于,因此G在PG(n,q)中全体点的集合和全体超平面的集合上都是正则的.故若令D为由以全体超平面为区组,全体点为元素所组成的SB(k,λ；v)。则D是一个循环设计,令

则是Zv中元素与PG(n,q)中的点之间的一个1-1对应,设S为PG(n,q)的一个超平面,令

则D便是Zv中的一个(v,k,λ)-差集,由D的全体平移作区组所得的循环设计与D同构。

Singer定理所得到的差集叫Singer差集2。

本词条内容贡献者为:

王海侠 - 副教授 - 南京理工大学