[科普中国]-圆周摺积

圆周摺积也作圆周卷积，是不同于线性卷积的一种卷积运算，周期卷积的一种。两个函数的圆周卷积是由他们的周期延伸所来定义的。周期延伸意思是把原本的函数平移某个周期 T 的整数倍后再全部加起来，所产生的新函数。

圆周摺积，也叫循环卷积，两个长度为N的有限场序列x(n)和h(n)的循环卷积定义为：

即循环卷积相当于周期延拓后的序列x˜(n)做周期卷积后再取主值区间，若x(n)和h(n)的离散傅里叶变换为X(K)和H(K)，则有DFT[y(n)]=X(K)H(K)。即时域中的循环卷积对应于其离散傅里叶变换的乘积，循环卷积的结果y(n)长度为N1。

由于离散傅里叶变换(DFT)的实质是周期序列变换到频域的描述。可以证明：两个有限长序列在时域的循环卷积，其DFT等于在频域两个序列相应的DFT的乘积。

它表明DFT具有循环卷积性质（CCP），也是区别于其他变换的重要特性。正是这种性质，用计算机通过计算DFT达到计算循环卷积和线性卷积的目的，提髙了运算效率。按长度为N的两个序列，其线性卷积的长度应为2N-1，而循环卷积的长度仍然为N。为此，可以通过补零把序列长度增加到L≥2N-1。这样，一方面使循环卷积的长度等于线性卷积，另一方面避免进行循环卷积过程出现混叠造成失真，使计算结果与线性卷积相等，从而实现利用DFT计算线性卷积的目的。循环卷积有快速算法，广泛应用于对通信系统的分析和综合以及对信号的数字处理2。

离散信号的圆周卷积可以经由圆周卷积定理使用快速傅立叶变换（FFT）而有效率的计算。因此，若原本的（线性）卷积能转换成圆周卷积来计算，会远比直接计算更快速。考虑到长度L 和长度 M 的有限长度离散信号，做卷积之后会成为长度L+M-1的信号，因此只要把两离散信号补上适当数目的零（zero-padding）成为N点信号，其中N≥L+M-1，则它们的圆周卷积就与卷积相等。即可接着用N点 FFT 作计算。

用以上方法计算卷积时，若两个信号长度相差很多，则较短者须补上相当多的零，太不经济。而且在某些情况下，例如较短的h[n] 是一个 FIR 滤波器而较长的x[n] 是未知长度的输入（像语音）时，直接用以上方法要等所有的输入都收到后才能开始算输出信号，太不方便。这时可以把x[n] 分割成许多适当长度的区块（称为 block convolution），然后一段一段的处理。经过滤波后的段落再仔细的连接起来，借由输入或输出的重叠来处理区块连接的部份。这两种做法分别称为重叠-储存之卷积法和重叠-相加之卷积法3。

对于线性非时变离散时间系统来说，若序列x(n)是系统的输入，h(n)是系统在单位脉冲作用下的单位脉冲响应，则由于输入序列x(n)可表示为一系列脉冲的线性组合，所以，根据线性系统的叠加性质，系统的输出在系统初始不储能的条件下(零状态响应)可求得。

线性卷积是数字信号处理中最常见的一种基本运算，不仅用于系统分析还用于系统设计。如果代表滤波器的脉冲响应则卷积运算就是一种线性滤波，y(n)是信号x(n)通过滤波器后的响应2。

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