Legendre多项式

　　勒让德方程的解可写成标准的幂级数形式。当方程满足 |x| < 1 时，可得到有界解（即解级数收敛）。并且当n 为非负整数，即n = 0, 1, 2,... 时，在x = ± 1 点亦有有界解。这种情况下，随n 值变化方程的解相应变化，构成一组由正交多项式组成的多项式序列，这组多项式称为勒让德多项式（Legendre polynomials）。1

　　定义

　　数学上，勒让德函数指以下勒让德微分方程的解：

　　为求解方便一般也写成如下施图姆-刘维尔形式（Sturm-Liouville form）:

　　上述方程及其解函数因法国数学家阿德里安-马里·勒让德而得名。勒让德方程是物理学和其他技术领域常常遇到的一类常微分方程。当试图在球坐标中求解三维拉普拉斯方程（或相关的其他偏微分方程）时，问题便会归结为勒让德方程的求解。

　　勒让德方程的解可写成标准的幂级数形式。当方程满足 |x| < 1 时，可得到有界解（即解级数收敛）。并且当n为非负整数，即n= 0, 1, 2,... 时，在x= ± 1 点亦有有界解。这种情况下，随n值变化方程的解相应变化，构成一组由正交多项式组成的多项式序列，这组多项式称为勒让德多项式（Legendre polynomials）。

　　勒让德多项式Pn(x)是n阶多项式，可用罗德里格公式表示为：

　　正交性

　　勒让德多项式的一个重要性质是其在区间 −1 ≤x≤ 1 关于L内积满足正交性，即：1

　　其中 δmn为克罗内克δ记号，当m=n时为1，否则为0。 事实上，推导勒让德多项式的另一种方法便是关于前述内积空间对多项式{1,x,x, ...}进行格拉姆-施密特正交化。之所以具有此正交性是因为如前所述，勒让德微分方程可化为标准的Sturm-Liouville问题：

　　其中本征值 λ 对应于原方程中的n(n+1)。

　　其他性质奇偶性

　　当阶数k为偶数时， 为偶函数；当阶数k为奇数时， 为奇函数，即：2

　　递推关系

　　相邻的三个勒让德多项式具有三项递推关系式：

　　另外，考虑微分后还有以下递推关系：

　　其中最后一个式子在计算勒让德多项式的积分中较为有用。

　　移位多项式

　　移位勒让德多项式的正交区间定义在[0,1]上，即：

　　其显式表达式为：

　　相应的罗德里格公式为：

　　分数阶多项式

　　分数阶勒让德多项式通过将分数阶微分（定义参见分数微积分理论）和通过Γ函数定义的非整数阶乘代入罗德里格公式中来定义。

　　极限关系

　　大Q勒让德多项式→勒让德多项式

　　令大q雅可比多项式中的c=0，即勒让德多项式

　　令连续q勒让德多项式q->1得勒让德多项式

　　小q勒让德多项式→勒让德多项式

　　本词条内容贡献者为:

　　王伟 - 副教授 - 上海交通大学