单位圆科普中国-科学百科 2018-03-18 |
单位圆指的是平面直角坐标系上,圆心为原点,半径为单位长度的圆
定义
如果单位圆上的点 (x, y)位于第一象限,那么x与y是斜边长度为1的直角三角形的两条边,根据勾股定理,x与y满足方程:
由于对于所有的x来说x2 = (−x)2,并且所有这些点相对于x轴或者y轴的反射点也都位于单位圆上,因此单位圆上的所有点都满足上面的方程1。
在三角学中,单位圆通常是指欧几里德平面直角坐标系中圆心为 (0,0)、半径为 1 的圆。在教科书中,它常常出现在三角函数入门的那几页,并且与称为三角函数线的几条线段在一起,用于定义或解释实数的三角函数值。一般地,在复平面内,n 个 n 次的单位根所对应的点正。
数学性质
1. 在复平面(即高斯平面)上,单位圆诱导了著名的欧拉公式和棣莫佛定理。 换句话说, 单位圆上的点表示模长为1的复数, 它诱导了复数的三角形式和指数形式之间的关系2。
2. 单位圆上有自然的群结构: 即弧度的加法群结构。 换句话说,就是模长为1的复数集合 上有一个自然的乘法结构。
3. 单位圆诱导了几何反演变换 , 这和复变函数论的诸多结论密切相关。
4. 单位圆是最简单的非单连通 的拓扑空间之一, 常记为S^1. 它的基本群同构于整数群。
5. 单位圆同胚于射影直线, 是拓扑学中最基本的研究对象。这个同胚映射来自于从北极点作的球极投影。
6. 单位圆盘到自身的连续映射一定存在不动点。 这就是著名的布威劳尔不动点定理 。
7. 单位圆的群结构诱导了著名的指数映射 , 和微分几何中著名的陈类(也称陈示性类,因陈省身得名)有着深远的联系。
应用
1. 单位圆广泛应用于三角函数,对正弦函数,余弦函数,正切函数等的定义,函数图像的绘制有重要作用!3
2. 定义三角函数线
3. 单位圆应用于检测心率异常与否的一种图像标准。
本词条内容贡献者为:
刘军 - 副研究员 - 中国科学院工程热物理研究所
责任编辑:科普云
最新文章
-
为何太阳系所有行星都在同一平面上旋转?
新浪科技 2021-09-29
-
我国学者揭示早期宇宙星际间重元素起源之谜
中国科学报 2021-09-29
-
比“胖五”更能扛!我国新一代载人运载火箭要来了
科技日报 2021-09-29
-
5G演进已开始,6G研究正进行
光明日报 2021-09-28
-
“早期暗能量”或让宇宙年轻10亿岁
科技日报 2021-09-28
-
5G、大数据、人工智能,看看现代交通的创新元素
新华网 2021-09-28