梅森素数：数海明珠

　　素数也叫质数，是只能被1和自身整除的数，如2、3、5、7等等。公元前300多年，古希腊数学家欧几里得用反证法证明了素数有无穷多个，并提出了少量素数可写成2^P-1（其中指数P为素数）的形式,如3＝2^2-1、7＝2^3-1、31＝2^5-1等。此后许多数学家，包括数学大师费马、笛卡尔、莱布尼兹、哥德巴赫、欧拉、高斯、哈代、图灵等都研究过这种特殊形式的素数，而17世纪的法国数学家和音响学家马林·梅森(Marin Mersenne）是其中成果最为卓著的一位。

　　梅森学识渊博，才华横溢，是当时欧洲科学界的中心人物，并是法兰西科学院的奠基人。为了纪念他，数学界就把2^P-1型的数称为“梅森数”，并以MP记之（其中Ｍ为梅森姓氏的首字母，P为素数的首字母）；如果MP为素数，则称之为“梅森素数”(Ｍersenne　prime)。2300多年来，人类仅发现48个梅森素数。由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们誉为“数海明珠”。梅森素数历来是数论研究的一项重要内容；它是否有无穷多个?这是目前尚未解决的著名数学难题之一。

　　梅森素数貌似简单，但当指数P值较大时，其素性检验的难度就会很大；它的探究不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰巨的计算。1772年，享有“数学英雄”美誉的瑞士数学大师欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了Ｍ31（即2^31-1＝2147483647）是一个素数。它具有10位数字，堪称当时世界上已知的最大素数。欧拉的毅力与技巧都令人赞叹不已；难怪法国大数学家拉普拉斯向他的学生们说：“读读欧拉，他是我们每一个人的老师。”在“手算笔录年代”，人们历尽艰辛，仅找到12个梅森素数。

　　电子计算机的出现，大大加快了探究梅森素数的步伐。1952年，美国数学家拉斐尔•鲁宾逊将著名的“卢卡斯-莱默检验法”编译成计算机程序，使用大型计算机在短短几小时之内，就找到了5个梅森素数：Ｍ521、Ｍ607、Ｍ1279、Ｍ2203和Ｍ2281。1963年9月6日晚上8点，当第23个梅森素数Ｍ11213通过大型计算机被找到时，美国广播公司（ABC）中断了正常的节目播放，在第一时间发布了这一重要消息。而发现这一素数的美国伊利诺伊大学数学系全体师生感到无比骄傲，为让全世界都分享这一成果，以至把所有从系里发出的信封都盖上了“2^11213-1是个素数”的邮戳。

　　随着指数P值的增大，每一个梅森素数的产生都艰辛无比；而科学家及业余研究者们仍乐此不疲，激烈竞争。例如，在1979年2月23日，当美国克雷研究公司的计算机专家戴维•史洛温斯基和哈利•纳尔逊宣布他们找到第26个梅森数Ｍ23209时，有人告诉他们：在两星期前美国加州的高中生兰登•诺尔就已经给出了同样结果。为此他们又花了一个半月的时间，使用超级计算机找到了新的梅森素数Ｍ44497。此后，史洛温斯基还发现了6个梅森素数，他被人们誉为“素数大王”。

　　分布式计算技术的出现使梅森素数的寻找工作如虎添翼。1996年初，美国数学家和计算机专家乔治•沃特曼编写了一个寻找梅森素数的计算程序，并把它放在网上供数学家和业余数学爱好者免费使用；它就是举世闻名的“互联网梅森素数大搜索”（GIMPS）项目，也是世界上第一个基于互联网的分布式计算项目。现在人们只要从该项目下载开放源代码的Prime95和MPrime软件，就可以马上搜索梅森素数了。

　　为了激励人们寻找梅森素数和促进分布式计算技术发展，总部设在美国的“电子前沿基金会”（EFF）于1999年3月向全世界宣布了为通过GIMPS项目来寻找梅森素数而设立的“协同计算奖”。它规定向第一个找到超过100万位数的个人或机构颁发5万美元。后面的奖金依次为：超过1000万位数，10万美元；超过1亿位数，15万美元；超过10亿位数，25万美元。其实，绝大多数研究者参与该项目不是为了金钱而是出于好奇心、求知欲和荣誉感。

　　2008年8月，美国计算机专家埃德森•史密斯首先找到一个超过1000万位的梅森素数M43112609；这一巨大素数有12978189位，如果用普通字号将它打印下来，其长度可超过50公里！当时世界各地的主流媒体都对此事作了报道，认为这是一项了不起的科研成果。史密斯获得了EFF颁发的10万美元奖励，其发现被著名的《时代》周刊评为“2008年度50项最佳发明”之一。2013 年1月，美国数学家柯蒂斯•库珀找到一个更大的梅森素数M57885161；这是第48个梅森素数，也是目前已知的最大素数。

　　迄今为止，人们通过GIMPS项目已经找到14个梅森素数，其发现者来自美国（8个）、德国（2个）、英国（1个）、法国（1个）、挪威（1个）和加拿大（1个）。全球目前已有191个国家和地区近62万人使用超过114万台计算机联网来寻找新的更大的梅森素数。

　　值得一提的是，从已发现的梅森素数来看，它们在正整数中的分布时疏时密、极不规则；因此，探究梅森素数的重要性质——分布规律似乎比寻找新的梅森素数更为困难。中国数学家和语言学家周海中对梅森素数研究多年，最后他运用联系观察法和不完全归纳法，于1992年首先给出了梅森素数分布的精确表达式；后来这一重要成果被国际上称为“周氏猜测”。美籍挪威数论大师、菲尔茨奖和沃尔夫奖得主阿特勒•塞尔伯格认为：周氏猜测具有创新性，开创了富于启发性的新方法；其创新性还表现在揭示新的规律上。

　　梅森素数在当代具有重大意义和实用价值。它是发现已知最大素数的最有效途径，其探究推动了“数学皇后”——数论的研究，促进了计算技术、密码技术、程序设计技术和计算机检测技术的发展。因此许多科学家认为，梅森素数的探究成果，在一定程度上反映了一个国家的科技水平。英国数学协会主席马科斯•索托伊甚至指出，梅森素数的探究进展不但是人类智力发展在数学上的一种标志，也是整个科技发展的里程碑之一。

　　毫无疑问，梅森素数这颗数学海洋中的璀璨明珠正以其独特的魅力，吸引着更多的有志者去寻找和研究。