他的疯狂，却意外奠定了现代数学的基石

出品：科普中国

制作：黄守明

监制：中国科学院计算机网络信息中心

说无穷，道无穷

    从古希腊始，毕达哥拉斯学派就开启了对整数的研究。整数以及整数之比被认为是穷尽了自然界所有数字的奥秘，直到无理数的发现颠覆了人们对数的观念。此后，人们小心翼翼地处理着和无理数相关的所有知识。然而，不管是有理数还是无理数，都是基于“有限”的数，没有人会试图回答“无限”的问题。

无限多，无限大，那只对应着哲学上的概念，又或者人们仰望浩瀚的星空时对宇宙产生的卑微认识。那是一个自古即被认为是神所专属的领域。每一个尝试理解无穷的人，都会面临着无法逾越的天堑。

数学家高斯（图片来源：百度图片）

两千多年后，人类历史上最伟大的数学家高斯（Gauss）在面临“无限”这一高耸的科学险峰时，曾表达过他对“无穷”的恐惧。高斯说道：我反对把无穷做为一个完全的东西来使用，在数学中绝不允许有这样的用法。无穷只是说话的一种表达方式，其真正的含义只能表示为一个数可以无限制地增大。

康托敏锐地发现了高斯断言中的疑点。他认为高斯所表达的无穷仅仅是一个“潜无穷”，即这样的无穷是一个可以增加到超出任何有限限制的、可变的有限量。康托认为还应该存在一个“实无穷”，即它是一个超出所有有限量的固定的常量。康托的这个观点可谓石破天惊。也正是这个观点，驱使着康托为所有可能的无穷量寻找可以辨认的规则。

数学家戴德金（图片来源：百度图片）

    事实上，19世纪下半叶，数学家对分析的严格化运动已经迫切需要对无穷概念的澄清。德国的另一位大数学家戴德金（Dedekind）首先尝试对“无限”的初步解读。他发现，一个无穷系统和有限系统有如下本质区别：无穷系统能和自身的一部分相似，而有限系统却无法做到。

1873年，年仅28岁的康托也萌发对集合与无限等问题的浓厚兴趣，并且以初生牛犊的无畏精神向这个问题发起了猛攻。功夫不负有心人，康托找到了研究无穷集合度量的方法。

在康托的设想中，一个拥有无穷多元素的集合可以计算其元素个数，而两类无穷多事物的集合个数还应该能比较大小。更进一步，整数的集合个数所组成的无穷和实数的整体集合组成的无穷应该能加以区分。所有的这一切，都依赖于集合度量的关键概念：一一对应，以此作为衡量集合大小的一把标尺。

    康托提出，如果两个集合之间能够建立一一对应关系，那么它们的个数就应该被认为是相等的。

同年12月7日，他把自己的发现写信告诉了戴德金。多年后，人们把这一天看作是集合论的诞生日。

一年后，康托遇到了戴德金。在和他进行充分交流后，康托将关于集合论的研究成果发表了出来。在这篇论文里，康托建立了类似全部代数数集合的构想。该构想得出了匪夷所思的结论，却极具开创性的意义。

此后十年，康托继续在这个领域潜心耕耘，并陆续发展了基于无穷的超限数理论，还创造了类似于有限数运算的超限数算术。他的实无穷论，成了过去2500年来数学历史上最具独创性的贡献之一，旋即在数学界引发了轩然大波。

在此观点下，康托发现，任何一个无穷集合都至少包含一个自然数集合，因为每一个元素都至少可以被以自然数1,2,3…等等的顺序标识出来。这样，如果把全体自然数集合的个数记为“阿列夫零”（即最小的无穷），那么任何无穷集合的个数最少也有“阿列夫零”个。康托沿着自己的想法步步深入这个从未被人窥视过的领域，一个令人惊愕的结论随之诞生。全体实数组成的集合个数如果记为“阿列夫”个，那么“阿列夫”不仅远远大于“阿列夫零”，而且恰好等于2的“阿列夫零”次方！原来无穷也可以比较大小，而且还有确定的恒等式揭示这一奇妙的关系。

此后，无穷世界的大门终于向世人敞开。尽管彼时还有很多人在门外观望，甚至一些人还会不顾一切地拦住试图进入门内的探险家们，但是乐园的芬芳已经溢出，门内透露出的点点金光预示着它将给予最勇敢的人以最慷慨的赏赐。 

向无穷献祭

康托的集合论认为，一个无穷的集合可以和它的子集拥有一样多的元素。这大大超乎人们关于“整体大于部分”的直观印象。因此，从一开始，康托的构想就得不到多数人的理解。法国大数学家庞加莱（Poincare）甚至认为康托的集合论是一种疾病。德国数学家外尔（Weyl）、克莱因（Klein）也不约而同地认为，康托尔关于集合基数的等级观点是“雾上之雾”，其思想太过离经叛道。原本是康托的好友，数学家施瓦兹（Swartz），甚至由于反对集合论而同康托断交。

在所有反对康托的数学家中，最激烈的莫过于他的导师克罗内克。

数学家克罗内克（图片来源：百度图片） 

    康托关于集合论的结论主要是基于存在性的证明，而克罗内克一生所秉持的信念则是构造性。他坚定地认为一切东西只有构造出来才能谈存在，而不能用无法确定的古典式逻辑以推理形式给出断言。一个没有具体构造方法得出的证明，在克罗内克看来，都是虚妄的废话。因此克罗内克将康托的结果看成是危险的数学存在。

    克罗内克不能容忍数学被康托带领进入疯人院，他狂热地认定自己坚持的真理才是数学的正道，因此动用他所有的权势开始对康托展开反攻。康托论文的稿件被他长期压制扣发，他在公开场合批判康托是神经病，是科学的骗子和叛徒，其思想不啻为“近十年来最具兽性的见解”。

康托任职于哈雷大学，由于薪金单薄，他曾希望进入柏林大学任教。但是受到身为柏林大学教授克罗内克的处处阻挠，康托终身没能进入柏林大学的殿堂。在长期的压力下，康托脆弱的神经终于崩溃。康托在“众叛亲离”的学术环境下感到深深的自责与沮丧，少年时养成的性格让他更加自卑。他不敢去和克罗内克据理力争，甚至开始怀疑起自己工作的正确性，一度要求哈雷大学将自己从数学系教授转为哲学系教授。1884年，年仅39岁的康托罹患精神分裂症。

    此后多年间，康托只能在身体稍有恢复、头脑清醒时，继续开展他的研究。直到1891年克罗内克去世，反对康托最大的声音终于消失。数学界对康托的误解才渐渐消除。1895年，康托发表了他一生最后一部重要的数学著作——《对超穷数论基础的献文》，他的理论很快引起世界各国同行的重视。

1897年，在第一届世界数学家大会上，法国数学家阿达玛（Hadamard）报告了康托的工作。此后，人们逐渐意识到康托的集合论在分析、测度论、拓扑理论等研究中有巨大的应用价值。康托终于得到了应有的荣誉。

1918年1月6日，康托在哈雷的精神病院辞世。

世人终于将荣誉还给迟暮的英雄。大数学家希尔伯特（Hilbert）高度赞誉康托的集合论“是数学天才最优秀的作品，是人类纯粹智力活动的最高成就之一，是这个时代所能夸耀的最巨大的工作，没有任何人能将我们从康托所创造的伊甸园中驱赶出来”。

现代数学的基石

几乎所有数学都会研究特定的对象。这些对象，从具象化的数、点、图形，到抽象的概念，都组成一个个研究的集合。因此，集合论从诞生起就是研究一般集合的性质。两千多年来，人们对有限集合的研究已经渐入佳境，但是只有从康托将无限集引入到集合论开始，人们才意识到无限集合与有限集合的重大差别。分析中关于实数、极限、连续等等的概念都涉及到无穷集合的性质，康托的发现无疑为分析的严格化奠定了坚固的基础。不仅如此，对基本元素和集合普遍性质的研究很快就渗透到数学的各个分支当中，康托的集合论逐渐成为整个现代数学的基础。

尽管如此，这个基石依然很快被发现了裂痕。1902年，英国数学家罗素（Russell）在康托一般集合论的边缘发现了一个悖论。该悖论直指集合论的核心——关于集合的定义。并非所有具有某种性质的抽象概念都能作为元素，并组成一个集合。此后，众多数学大家开始为修补数学大厦的裂痕而提出非同寻常的见解。

此后三十多年，集合论后续的发展陆续为数学的广大版图添加新的领地——包括全新的逻辑理论。为了彻底解决罗素悖论，希尔伯特提出了一个宏伟的计划。他希望遵循古希腊的科学传统，通过建立一套类似欧几里得的公理体系来排除悖论的产生。然而这个计划很快被奥地利数学家哥德尔（Godel）颠覆。哥德尔在他的“不完备定理”中指出：任何一个数学的公理化体系都不是“完美的”。任何数学公理化系统都需要人为地从外界注入新的公理才能让它日趋完善，而它自己并不能完全自动避免矛盾产生。

由康托开创的集合论衍生出越来越多超乎想象的成果。一方面，康托在集合论中发明的一一对应的对角线方法，成了哥德尔证明不完备定理的利器。该定理揭示了完美的数学并不存在，其威力不亚于数学天空下的核子弹，并很快冲击到自然科学的每一个角落，甚至影响了人们的世界观和价值观。不仅如此，该方法也启示了图灵在20世纪早期发明了图灵机，为计算机的诞生铺平了理论的道路。

图灵（来源：百度图片）

如今，距离康托去世已整整一百周年。人们不应忘记每个为追求真理而献身的科学英雄。人们也应该了解到科学研究的道理，从来都是蜿蜒曲折，巨大的独创性甚至往往不会受到科学界的欢迎。因而颠覆传统的人，即使被发现具有巨大的价值，也可能受到顽固正统观念的束缚和压迫，从而走得步履蹒跚。尊重创新，不仅仅是一句口号，更是需要行动的巨大支持。

但愿，人类历史上的悲剧不再重演，所有为真理做出巨大贡献的人的名字，都能在当世得到应有的赞誉和颂扬。 

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