收敛半径

　　收敛半径r是一个非负的实数或无穷大，使得在 | z -a| < r时幂级数收敛，在 | z -a| > r时幂级数发散。

　　定义

　　收敛半径r是一个非负的实数或无穷大的数，使得在 | z -a| < r时幂级数收敛，在 | z -a| > r时幂级数发散。1

　　具体来说，当 z和 a足够接近时，幂级数就会收敛，反之则可能发散。收敛半径就是收敛区域和发散区域的分界线。在 |z- a| = r的收敛圆上，幂级数的敛散性是不确定的：对某些 z可能收敛，对其它的则发散。如果幂级数对所有复数 z都收敛，那么说收敛半径是无穷大。

　　计算基本内容

　　根据达朗贝尔审敛法，收敛半径R满足：如果幂级数满足，则：

　　 是正实数时，R= ；

　　 = 0时，R= ；

　　 = 时，R=0。

　　根据根值审敛法，则有柯西-阿达马公式。或者，复分析中的收敛半径将一个收敛半径是正数的幂级数的变量取为复数，就可以定义一个全纯函数。2

　　收敛半径可以被如下定理刻画：

　　一个中心为 a的幂级数 的收敛半径 R等于 a与离 a最近的使得函数不能用幂级数方式定义的点的距离。到 a的距离严格小于 R的所有点组成的集合称为收敛圆盘。最近点的取法是在整个复平面中，而不仅仅是在实轴上，即使中心和系数都是实数时也是如此。例如：函数没有复根。它在零处的泰勒展开为：运用达朗贝尔审敛法可以得到它的收敛半径为1。与此相应的，函数 在 ±i存在奇点，其与原点0的距离是1。

　　简单例子

　　三角函数中的正切函数可以被表达成幂级数：

　　运用审敛法可以知道收敛半径为1。

　　复杂例子

　　考虑如下幂级数展开：

　　其中有理数是所谓的伯努利数。对于上述幂级数，很难运用审敛法来计算收敛半径，但运用上面提到的复域中的准则就可以很快得到结果：当 z=0 时，函数没有奇性，因为是可去奇点。仅有的不可去奇点是其他使分母为零的取值，即使得= 0的复数 z。设，那么，要使之等于1，则虚部必须为零，于是有 ，其中 。同时得到 x= 0，回代后发现 k只能为偶数，于是使得分母为零的 z为的形式，其中 ，离原点最近距离为 ，于是收敛半径为 。3

　　收敛圆上的敛散性

　　如果幂级数在a附近可展，并且收敛半径为 r，那么所有满足 |z a| = r的点的集合（收敛圆盘的边界）是一个圆，称为收敛圆。幂级数在收敛圆上可能收敛也可能发散。即使幂级数在收敛圆上收敛，也不一定绝对收敛。

　　例1：幂级数的收敛半径是 1 并在整个收敛圆上收敛。设 h(z) 是这个级数对应的函数，那么 h(z) 是例2中的 g(z) 除以 z后的导数。 h(z) 是双对数函数。

　　例 2：幂级数的收敛半径是 1 并在整个收敛圆上一致收敛，但是并不在收敛圆上绝对收敛。

　　本词条内容贡献者为:

　　刘军 - 副研究员 - 中国科学院工程热物理研究所