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一只会下金蛋的鹅

来源:科普中国-科学原理一点通 2017-11-15     

  费马大定理是由法国数学家费马提出的。此“定理”提出后,经过多个天才数学家的猜想辩证,历经三百多年,1995年,终于被英国数学家安德鲁·怀尔斯攻克,证明费马的断言是正确的。

  费马大定理的提出:一个留在书旁空白处的断言

  1637年法国数学家费马在研读古希腊数学家丢番图的著作《算术》时,看到有一道关于勾股数的问题“给定一个平方数,如何将它写成另两个平方数之和?”不知这位伟人对此进行了怎样的考究,但在这道题旁边的空白处,他却写下了这样一段话“将一个立方数分成两个立方数之和,或一个四次幂分成两个四次幂之和,或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和,这是不可能的。关于此,我确信已发现了一种美妙的证法,可惜这里空白的地方太小,写不下。”

  费马的这段话是在断言:当n>2时,xⁿ+yⁿ=zⁿ没有正整数解。这个断言就是著名的费马大定理,又称“费马最后的定理”。

  费马大定理

非凡的费马大定理:一只会下金蛋的鹅

  “地方太小,写不下”,这位伟人竟然找了如此的理由未将他美妙的证法写下来,不知道他是在开玩笑,还是故意给后人留了一个天大的“玄虚”,挑战后人的智慧。这个“定理”以其独特的魅力,吸引了众多杰出数学家致力于它的辩解论证,耗尽了许多天才大脑的精力,它困惑了三个世纪的数学家,或许当初费马根本就没有证明他的这个定理,因为300多年数学家们前赴后继的研究,发现攻克它实在是太难了!

  18世纪,瑞士数学家欧拉仅仅做出了n=3的证明;19世纪,德国著名数学家高斯曾经研究过它,但终因得不到结果而放弃;20世纪,当大数学家希尔伯特被劝去破解费马大定理时,他却说他不愿意“杀死这只会下金蛋的鹅”。

  为什么这么说呢?原来对费马定理长达3个多世纪的研究中,发展起了很多绝妙的数学概念和理论,甚至还产生了数学分支。这也是人们怀疑费马当时是否真的找到正确证法的另外一个理由。

  1.扩充了“整数”的概念

  在研究的过程中,数学家们发现,如果把n次单位根ω(即ωⁿ=1)看作“整数”,那么xⁿ+yⁿ=zⁿ(n>2)就可以分解为z"=x"+y"=(x+y)(x+yω)(x+yω²)…(x+yωⁿ),进而再进行深入的分析。

  2.产生了“理想数”概念,开创了代数数论

  大家知道,当整数大于1时,都可以唯一地分解为一些素数的乘积,例如6=2x3,20=2²×5等。“整数”扩充后,如果仍然可以保持这种唯一分解性,那么费马大定理早就可以破解了。但事实却非如此。例如,扩充后的“整数”中,6有两种分解形式:6=2x3和6=(1+)(1-)。由此,19世纪德国数学家库默尔引入了一个全新的概念—理想数。以此为基础,他一下就证明了n≤100(个别情况除外)时的费马大定理。他也因此也开创了一门重要的数学分支——代数数论。

  3.费马大定理“生下的最后一个金蛋”

  1994年,英国著名数学家安德鲁·约翰·怀尔斯,经过8年的苦研,终于攻克了费马大定理。这个困惑数学家358年的猜想终于宣告破解。怀尔斯之所以给出正确的证明,关键在于他成功地运用“伽罗瓦群表示”,建立了“椭圆曲线”与“模形式”之间的对应,揭示了现代数学当中,不同的领域之间存在着深刻联系。此乃费马大定理这只鹅“生下的最后一个金蛋”。

  费马大定理的终结者 安德鲁·怀尔斯

 

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  作者: 科学原理一点通