无穷的奥秘

2018-01-17 来源:科普中国-科普文创

  在开始之前,我们先看几个大数。

  在印度有一个古老的传说:舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人 - 宰相西萨·班·达依尔。国王问他想要什么,他对国王说:"陛下,请您在这张棋盘的第1个小格里,赏给我1粒麦子,在第2个小格里给2粒,第3小格给4粒,以后每一小格都比前一小格加一倍。请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒,都赏给您的仆人吧!"国王觉得这要求太容易满足了,就命令给他这些麦粒。当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时,国王才发现:就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来,也满足不了那位宰相的要求。

  那么宰相要求得到的麦粒到底有多少呢?总数为:

  第 第 第 第 第

  1 2 3 4 …… 64

  格 格 格 格 格

  1 + 2 + 4+ 8 + ……… + 2的63次方 = 2的64次方,446,744,073,709,551,615(粒)

  据估计,全世界两千年也难以生产这么多麦子!那我们就可以想象宰相西萨·班·达依尔以后的命运了。

  历史学家鲍尔讲了一段故事:

  在世界中心贝拿勒斯(在印度北部)的圣庙里,一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候,在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片,这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜,总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片:一次只移动一片,不管在哪根针上,小片必须在大片上面。僧侣们预言,当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时,世界就将在一声霹雳中消灭,而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。

  在这个故事中每将一个金片移到另一根针上时,移动的次数都是上一次移动的两倍,那么当把所有的金片都移动完成后,总的移动次数与第一个故事中的麦粒数相同。假设1秒移动一次金片,那么每天不停移动金片的话,总共需要将近5800亿年能够完成。根据现代科学研究,我们的地球只有46亿岁,太阳只有50亿岁,甚至宇宙也才只有区区150亿岁,而据研究太阳的寿命也就是大概100亿年,也就是说,从宇宙大爆炸的一刻起,僧侣就开始工作,日夜不停地移动金片,直到太阳毁灭他也不过才完成了全部工作的3%!所以世界末日丝毫不用担心的。

  我们可以再看下地球与月球的距离,大概是384,000千米,换算成米为单位即为384,000,000米,而地球与太阳的距离约为150,000,000千米,称时速1000千米的飞船要花17年的时间从地球飞到太阳,而光则需要约8分钟。而以冥王星轨道来计算时,太阳系地半径约为6,000,000,000千米,以彗星轨道为边界时为34,000,000,000,000千米,而整个银河系的半径约为100,000光年,换算成光年大概为9后面跟18个0千米,很难想象这样的距离是真的能让牛郎和织女每年跨过银河去相聚,因为他们如果想一天就跨过半个银河在银河中心的鹊桥上相见时,他们的速度至少要比光快19,000,000倍!

  话说回来,我们看这些数字,这些大数让人看了就让人头大,也许我们小的时候都会数1-100,然后再努力的输出自己所能达到的极限,也许我们曾经写出一个特别长的数字并希望把读出来,就像6,498,461,564,942,498,456,191,649,491,206,042,480这样的数字,这样的数字也是够唬人的。但是这是人类的极限了吗?显然不是,如果我在上述的数上加1,那他就会变得更大,不断加1,也就不断变大。古代人有在绳子上系绳节计算事情的习惯,如果事情少那自然好办,但是如果遇到大的数字,恐怕古代人就没辙了。当然,我们现代人需要的数字比古代人大得多,但我们总是有方法数清的。但是如果一个数字不断加1,会不会大到我们都数不清呢?

  上文的18,446,744,073,709,551,615和6,498,461,564,942,498,456,191,649,491,206,042,480这种数字是无穷大吗?显然这个数字能够数清楚,所以并不是无穷大。那么,地球上所有的沙子的数目总是无穷大了吧,答案依然是否定的,即使人们无法数清楚沙子的数目,但是客观上讲,沙子的数目总是一个固定的数,即使在1后面加上再多的0,那也不是无穷大。只要有足够的时间,上面所说的数一定是能数出来的。

  那说了这么多,到底什么是无穷大呢?一个最简单地例子便是一条直线上的点的数目就是无穷大。将一条线段不断地分成一半,次数也是根本无法数清的,那也是无穷大,当然我们不考虑最后到分子夸克阶段能不能继续分的问题。

  那无穷大是一个具体的数字吗?那答案又是否定的,如果是具体的数字,那么不就数清楚了吗,那就不叫无穷大了。

  那么无穷大是怎么表示的呢?无穷大的表示方法是“∞”,这个符号让我们想到了莫比乌斯带,很多人认为“∞”的创意来自于莫比乌斯带,因为如果某个人站在一个巨大的莫比乌斯带的表面上沿着他能看到的“路”一直走下去,他就永远不会停下来,这样我们可以认为一个人在莫比乌斯带上走无限远的距离。但是“∞”的发明是早于莫比乌斯带的。那么是怎么回事呢?真相只有一个!那就是英国人沃利斯(John Wallis,1616-1703)的论文《算术的无穷大》中首次提出将8水平置放成“∞”来表示“无穷大”。现在“∞”还有了新的含义,那就是天气预报时雾霾是用这个符号表示的,大概是说雾霾的小颗粒数不完所以用无穷大表示吧。实际上边那句话是有错误的,因为只要有足够多的时间,有足够多的精力去暑雾霾颗粒的数目,雾霾的颗粒迟早是可以被我们数清楚的!当然我们没有时间,没有精力,大概我们会认为能数清楚的都是疯子吧,至少我们小的时候仰望天空数星星的时候是从来没把俺天的星星数清楚的!或许我们能看到的星星的数量要远小于济南市某一天曾经存在过的所有雾霾颗粒数吧。

  说了这么多,我们来看下百度百科中对无穷大的定义:无穷大,就是在自变量的某个变化过程中绝对值无限增大的变量或函数。 主要分为正无穷大、负无穷大和无穷大(可正可负),分别记作+∞、-∞以及∞,非常广泛的应用于数学当中。

  那么无穷大的数学基本定义是啥呢?设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义(或|x|大于某一正数时有定义)。如果对于任意给定的正数M(无论它多么大),总存在正数δ(或正数X),只要x适合不等式0M,则称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷大。

  可能看到这里大家就很迷茫了,我们平常看到数学就头大,看到这么长的一串数学定义还不是要上天?那我就举一个很简单的例子来解释一下这一句超级长的定义。假设在坐标系x0y中有直线,那我们就很容易可以看出,对于我们给的任意一个正数x,都会存在一个正数y与x对应,那么当x无限增大直至无穷大时,y也就跟着x无限增大直至无穷大。

  既然无穷大也是数,那我们看到两样东西总是要本能的做一个比较,那看到无穷大的时候我们也会这样想,两个无穷大之间是不是也可以比较大小呢?看到这里可能就有人说了,都是无穷大了还怎么会有大小呢?如果一个无穷大比另一个无穷大更大一些,那我让那个小一些的无穷大再大一些,直到比那个大一些的无穷大更大一些为止不行吗?那么这里就犯了一个错误,那就是无穷大不是一个具体的数,当我们这样比较的时候就给无穷大默认了一个数值,而没有意识到无穷大是可以无限增大的。

  那么我们先从简单的问题入手:“所有的整数的个数和一条直线的所有几何点的个数,究竟哪个大些?”——这个问题有意义吗?这个问题乍一看也真让人头大,但是数学家康托尔首先思考了这个问题。

  这两个数既无法数出来,也无法表示,那怎么比较呢?康托尔提出可以将两组无穷大数进行一一配对,如果两组数最后都一个不剩,那么两个无穷大是一样大的;如果其中一组数还剩下了其他的数,那么这个无穷大便比另一个更大些。这显然是合理的。

  我们先举一个最简单的例子,当我们在统计学校中桌子和椅子的数量时,使一张桌子配一把椅子,那么当多出椅子时,那么必定是椅子多,我们再让一个学生对应一副桌椅,那么多出的学生便是缺少的桌椅数,或多出的桌椅数加上学生数便是总的桌椅数。

  数桌椅自然是很简单的问题,当我们回到无穷大之间的比较时,也是这样的思路。“所有的整数的个数和一条直线的所有几何点的个数,究竟哪个大些?”我们可以用刚才所说的方法,假设在直线的一头有一个点A,那么这条直线上就会有整数个点到点A的距离为整数,可是问题在于还有的点到点A的距离为小数,比如0.2236541…,那么整数与直线上点的一一对应关系也就不存在了,因此直线上的点是多于整数的个数的,两个无穷大的大小关系也就很明显了,直线上的几何点的数目是多于整数的。

  那我们可以再证明一个很简单的例子。我们知道偶数与奇数的个数是相等的,那我们该如何证明呢?按照上文所说,我们应建立一个一一对应关系,很显然,这个一一对应关系很好找,让一个奇数加1便得到了偶数,那么奇数与偶数的一一对应关系我们就找到了,那自然就可以证明奇数与偶数的个数相等了。

  在无穷的发展史上,部分与整体的关系是人们十分纠结的。在历史上承认实无穷同承认“部分小于整体”不可兼得。但是对于无穷大,也许有一个理论会让你感到大吃一惊——部分与整体可能是相等的!这里你可能就要反驳我了,这个完全就是不可能的嘛!古代的数学家们也是这样认为的。拿宇宙作为一个例子的话,我们知道宇宙现在仍然在无限增大,那我们也许就能认为宇宙是无限大,那我总不能说宇宙的一半和整个宇宙一样大吧?这里你又犯了一个错误,将无穷大变得实物化,那必然会出错的,宇宙并不能看成无限大,它是有一定的大小的,即使仍然在不断扩大。

  我们先举一个比较简单的例子——奇数的个数等于偶数的个数,偶数的个数等于整数的个数!

  这时你也许又会反驳,刚才不是证明了奇数的数量一定是和偶数相等的吗?我们都知道奇数和偶数加起来便是整数,那很显然奇数与偶数各自的数量是整数的一半。那怎么可能会有这样的关系呢?

  我们不应该只想到奇数与偶数的一一对应关系,因为还会有另外的一种对应关系,当我们将所有的整数乘2时,我们发现得到的居然全部是偶数,而将这些偶数又减1后,得到的全部是奇数。

  这样你就惊奇的发现:偶数的个数等于奇数的个数,还等于整数的个数!部分与整体居然是相等的!

  另外还有一个不可思议的例子:无论长短,线段上的点的数目永远是相等的。这就有点烧脑了,因为我们知道线段上的点我们看不到,数不清,很难通过一般的思维找到对应关系,但办法总是有的:

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  假设有两条不一样长的线段AC和AB,始终会有直线平行于BC交AB与AC于两个点,这两个点便具有一一对应的关系,也就是说长度不同的线段AB与AC上具有相同数量的整数点。

  我们甚至可以证明更加神奇的观点:直线上的几何点数与平面上的几何点数相同。这也是整体与部分的关系。我们先比较一条长1厘米的线段上几何点的个数与面积为1平方厘米的正方形点的个数。首先假设一个点与线段一个端点的距离为0.456988厘米,那么我们将奇数位和偶数位的数字提取出来形成两个数,分别为0.468和0.598,以正方形的一个端点为原点建立直角坐标系,正方形在第一象限内,那么坐标为(0.468,0.598)的点就在正方形内,这时线段上的几何点就与正方形上的几何点建立了以一对应关系,线段上的几何点的个数便与正方形上点的个数相等了,那么直线与平面上的点的个数就相等了。

  同理,一个正方形上的点与一个立方体上的几何点的个数也是相同的,只不过这次就比较麻烦了,因为要先证明正方体内的几何点的数目和线段上的几何点数目相等。我们还是假设存在一条1厘米的线段和1立方厘米的正方体,假设一个点离线段的一个端点距离为0.456789123厘米,那么我们将小数点后的数字分成三份,如第1、4、7位为一组,第2、5、8位为一组,第3、6、9位为一组,则可得到三个数字:0.471、0.582、0.693,那么以正方体的一个顶点为原点建立立体直角坐标系,正方体在第一象限,那么就有点(0.471,0.582,0.693)在正方体内,这样线段上的点就与立方体内的点建立了一一对应关系,那么线段上的几何点就与立方体内的几何点数量就相等了,因为正方形的几何点与线段上的几何点数目相等,那么正方形内的几何点与立方体内的几何点数量相等。

  我们再说一个例子,我们说一个圆拥有无数条半径,那么当我们将圆沿着一条直径分开之后,这两个半圆仍然拥有无数条半径,那么我们也就可以说,这两个半圆的半径的数目与原来的整圆的半径数目是一样的,那么部分等于全体的结论也就得以证明了。

  同时我们还可以举一反三,那么我说一个正方形内有无数个几何点,当我将正方形一分为二时,所分成的两个长方形内部的几何点的数目也就与原来的正方形相等,部分等于整体也就得以证明。

  那我们可以幻想下,当我们生产一件商品的时候,当我们计划并真正生产无穷大个时,我们就可以说我们已经完成了计划,我们还可以说我们已经超额完成计划,超额多少倍都可以!当然这只是玩笑话了!

  看到这里是不是有点懵了呢?也许这就是科学的魅力吧,当你沉迷于平时的生活经验或者是习惯思维时,科学总是突然给你一个激灵,居然还有这样的存在!因为科学就在于观察与思考。

  尽管几何点的个数要比整数和分数的数目大,但是数学家们发现了比它更大的数,即各种曲线的样式的数目,它比所有几何点的数目要大得多,因此我们将其看作第三级无穷数列。

  无穷大数随级别增大,无穷大也就越大。按照“无穷大数算术”的奠基者康托尔的意见,无穷大数是用希伯来字母ℵ(读作阿莱夫)表示的,在字母的右下角,再用一个小号数字表示这个无穷大数的级别。这样一来,数目字(包括无穷大数)的数列就成为无穷大的头三级分别为“所有整数和分数的数目”(ℵ1),“线、面、体上所有几何点的数目”(ℵ2)和“所有几何曲线的数目”(ℵ3)。

  这样我们就可以说“一条直线上有ℵ2个点”、“所有曲线的样式有ℵ3种”,这就像我们说“人一天要吃3顿饭”、“地球有1个卫星”一样简单了。

  无穷大的这三级已经足够表示目前我们能想到的所有无穷大了,所以不要再头大地给一个数无限地加1了,因为这仅仅是第一级无穷大,你连这一级都数不完。

  第六章 无穷大的加减法

  既然我们能比较无穷大的大小,那我们就可以让两个无穷大相加减,那么问题就来了,无穷大这么抽象,怎么做到优雅地相加减而不出错呢?

  那首先无穷大之间的相加很简单了,两个无穷大相加必然还是无穷大了!那你或许就会说了,相加有什么意思,你让两个无穷大相减啊!那问题就来了,反正都是数不清,那两个无穷大相减不就是0吗?答案必然是不对的,无穷大的减法是有规律的。

  我们知道,无穷大也是分级别的,同级别的无穷大相减肯定是0,但是不同级别的无穷大相减就不一样了。例如当第二级无穷大(ℵ2)减第一级无穷大(ℵ1)时,得到的结果仍然是无穷大,当第一级减第二级无穷大时,结果就是负无穷大了。

  我们来看这是为什么。我们上面说第一级无穷大是所有整数和分数的数目,而第二级无穷大则是指线、面、体上所有几何点的数目,那这里结果也就自然而然地出来了,我们在第三章中证明过,整数与分数的总数是少于线上的几何点的数目的,所以当第二级无穷大(ℵ2)减第一级无穷大(ℵ1)时,结果就是正无穷大,相反则是负无穷大。

  在古希腊的奴隶社会,盛行“万物本原”的学说。这些学说中,阿那克西曼德(约公元前610~546)认为万物的基本元素是一种不具备任何规定性的特殊物质,这种物质不冷不热,非水非气,他把这种物质称为“无限”,这是最早出现的“无限”概念,但是对于“无限”具体指的什么,没有人能真正解释清楚,因此最开始的无穷就是以思辨的形式而非数学形式出现的,它主要是哲学家讨论的问题,例如时间和空间的无限性,物质的无限性等等。后来在数的概念出现以后,“无限”便被赋予了新的含义——它不是一种具体的物质,而是与“有限”对立的量的概念,自此“无限”成为了一个数学问题。

  希腊奴隶制的繁荣也带动了思想的繁荣,安提丰(约公元前五世纪)提出用圆的内接正方形的变数不断加倍的方法可以无限逼近圆的面积,布赖森也提出用圆的内接与外切正多边形来逼近圆的面积,这些都是运用了无穷的思想思考数学问题,但是遗憾的是,这些人并没有进行真正的计算。

  在我国的战国时期也产生了“无穷”的思想,《庄子》中“一尺之锤”便是一种潜无穷思想。三国时期刘徽注意到无穷进展能够完成,并把他的思想应用到了计算“弧田”的面积、“阳马”的体积以及开方运算。刘徽认为圆内接正六边形的面积随边数不断加倍而逐渐增加,但是永远都不会大于圆的面积,同时指出:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至不可割,则与圆合体而无所失矣。” 刘徽从单位圆的内接正六边形算起,算到正192边形,得出π.14。南北朝时期的祖冲之在刘徽工作的基础上已求得3.1415926 0。对于区间|x-x0|

责任编辑:科普云

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